Это операция, обратная расширению?
Пара обратных операций определяется как две операции, которые будут выполняться над числом или. переменная, которая всегда приводит к исходному числу или переменной. Другой способ подумать об этом -. что две обратные операции «отменяют» друг друга.
Какой пример обратной операции?
Обратные операции — это операции, которые противоположны или «отменяют» друг друга. Например, сложение отменяет вычитание, а деление отменяет умножение.
Как развернуть в Illustrator?
- Откройте новый документ Illustrator и создайте несколько перекрывающихся фигур с помощью кисти или двух. .
- Перейти к объекту > Разверните Внешний вид, чтобы создать свои очертания.
- Когда все выбрано, щелкните правой кнопкой мыши и «Разгруппируйте» их.
- Теперь с помощью инструмента Select (черная стрелка) выберите один из контуров.
- Перейти к Выбрать > Одно и тоже > Цвет заливки.
Что такое обратная операция возведения в квадрат?
Функция квадратного корня является обратной функцией возведения в квадрат, так же как вычитание является обратной функцией сложения. Чтобы отменить возведение в квадрат, мы извлекаем квадратный корень. В общих чертах, если a — положительное действительное число, то квадратный корень из a — это число, которое при умножении на себя дает.
Обратная операция?
Операция — это математический процесс, включающий сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат, квадратные корни и т. Д. Все указанные символы (+, -, ×, ÷) в математике известны как операторы. Обратная операция меняет эффект первой операции.
.
Обратные операции.
| Операции | Обратные операции |
|---|---|
| Разделение | Умножение |
Что обратное 12?
Множитель, обратный 12, равен 1/12.
Как решить обратное свойство?
- Пример 1: 5 + (-5) = 0-5 — противоположность 5.
- Пример 2: -4 + (4) = 0-4 — противоположность 4. .
- Пример 3:10.
- -10-10 — противоположность 10.
- Пример 4: -12.
- +12 12 противоположно — 12.
- Обратное свойство умножения гласит, что любое число, умноженное на обратное, равно единице.
Что обратное 3?
Множитель, обратный 3, равен 1/3.
Что значит обратное?
1: противоположный по порядку, характеру или эффекту обратная связь. 2: математическая операция, противоположная по своему действию другой операции Умножение — это операция, обратная делению. Другие слова из инверсии.
Деление — это обратное умножению?
Одно и то же число многократно вычитается. Итак, деление противоположно умножению. Следовательно, умножение и деление — противоположные операции. Можно сказать, что деление — это операция, обратная умножению.
Близость 
Близость 
Близость 
Свежие новости, интересные статьи и полезные гайды, связанные с графическим дизайном. Здесь вы найдете ответы на самые часто задаваемые вопросы
Действие, обратное делению, 9 букв — сканворды и кроссворды
Ответ на вопрос в сканворде (кроссворде) «Действие, обратное делению», 9 букв (первая — у, последняя — е):
у м н о ж е н и е
Другие определения (вопросы) к слову «умножение» (33)
- действие по значению гл. умножать, умножаться, умножить, умножиться; увеличение, прибавление ◆ Он даже не запрещает духовным лицам заботиться об умножении своего имущества, лишь бы это не противоречило строгой нравственности. Б. Д. Порозовская, «Жан Кальвин», 1898 г.
- матем. (математический термин) арифметическое действие, посредством которого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), которое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором ◆ Это значит, мы владеем алгоритмом умножения двузначных чисел, сознательно проводим действие умножения . А. К. Сухотин, «Парадоксы науки», 1978 г.
Определение 1
УМНОЖЕ́НИЕ, -я, средний род
1. Действие по глаголу умножить—умножать (во 2 знач.); действие и состояние по знач. глаг. умножиться—умножаться. По мере умножения семейства, присмотр делался сложнее. Помяловский, Данилушка. — Нам необходимо умножение человеческих наслаждений и облегчение человеческих страданий. Вс. Иванов, Голубые пески.
2. Обратное делению математическое действие, посредством которого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), которое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором. Таблица умножения.
Определение 2
УМНО́ЖИТЬ, —жу, —жишь; совершенный вид, переходный глагол (несовершенный вид умножать и множить).
1. Мат. Произвести умножение (во 2 знач.) над какими-либо двумя числами.
2. Увеличить в числе, количестве. Многие миллионы десятин лежат в пустошах. Те земли надлежало бы вспахать и засеять. Скот умножить. А. Н. Толстой, Петр Первый. Каждый центнер хлеба, добытый тобой на колхозном поле, умножит твое богатство, богатство твоей семьи. Горбатов, Письма товарищу. || Увеличить, усилить. Умножить трудовой опыт. ◆ Ленинград продолжал свои исторические традиции, умножив славу прошлого новыми неповторимыми боевыми делами. Тихонов, Ленинград принимает бой.
Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями (иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем). Результат умножения называется их произведением.
Позднее умножение было распространено на целые, рациональные, вещественные, комплексные и другие виды чисел путём систематического обобщения.
В настоящее время умножение в математике определяется не только для чисел, оно имеет различный конкретный смысл и соответственно различные определения и свойства для различных математических объектов.
Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.
Торговля акциями после обратного деления
Здравый смысл подсказывает, что обратное деление акций (reverse split) — это плохо для компании. Дело в том, что оно обычно проводится, когда есть угроза исключения акции из списка котировок биржи — процедуры делистинга .
Но существуют ли какие-то фактические подтверждения того, что обратное деление акции ухудшает доходность инвестиции? И если да, то можно ли зарабатывать на этом явлении?
Попробуем найти ответы на эти вопросы в данной статье, но для начала давайте разберемся, что такое деление и обратное деление акции.
Деление акции
Деление акции происходит, когда совет директоров компании принимает решение об увеличении количества акций, находящихся в свободном обращении на рынке, путем выдачи дополнительных акций текущим акционерам.
Например, при проведении деления 2:1 каждый акционер получит по одной дополнительной акции на каждую, которая у него уже есть. Если до деления в свободном обращении находилось 50 миллионов акций, то после этого их будет 100 миллионов. Увеличение количества акций сказывается на их стоимости. При делении 2:1 количество акций удваивается, поэтому цена снижается вдвое. Деление акций затрагивает только ценные бумаги, представленные на рынке, и никак не влияет на рыночную капитализацию или фактическую стоимость компании.
Для чего проводят деление акций
Деление акций обычно проводится, когда руководство компании считает, что их акции стали слишком дорогими для инвесторов или их стоимость значительно превосходит цену акций других компаний, относящихся к той же отрасли. Таким образом, главная цель деления — сделать акции доступными для инвесторов и трейдеров. Фактическая стоимость компании при этом остается прежней.
Во многих случаях акций после деления заметно дорожают. Инвесторы видят, что некогда дорогая бумага стала доступной и охотней покупают ее. Деление повышает привлекательность инвестиций, подавая инвесторам сигнал о том, что акция быстро растет в цене.
Обратное деление акции
Если деление обычно проводится, когда цена акции становится слишком высокой, то обратное деление — в противоположном случае. Данная мера обычно принимается руководством компании, если цена акции опустилась слишком низко, а для выполнения требований биржи она должна находиться выше определенного уровня.
Например, цена акции на Нью-йоркской фондовой бирже NYSE должна быть не менее четырех долларов за штуку. Когда акция опускается ниже этого уровня, ее могут исключить из котировального списка. Аналогичные требования существуют и на других фондовых биржах, например, на Nasdaq пороговое значение равно одному доллару.
Преимущества обратного деления акций
В результате обратного деления акций компания имеет возможность продлить свое присутствие на бирже, получив дополнительное время для привлечения инвестиций. Это особенно актуально для таких спекулятивных отраслей, как биотехнологии и нефтедобыча.
Например, если мелкая биотехнологическая компания работает без прибыли, дополнительные несколько месяцев присутствия на бирже помогут выиграть время, необходимое для создания чего-то революционного.
Некоторые компании проводят обратное деление, чтобы их бумаги не выглядели, как типичные дешевые акции «пенни-стаки», так как это негативно сказывается на репутации.
Искусственное увеличение цены
Таким образом, компания может провести обратное деление акций, чтобы искусственно поднять их цену путем сокращения количества акций, доступных для торговли. Например, при обратном делении 5:1 количество акций на рынке сократится в пять раз. Стоимость самой компании при этом не изменится, но цена ее акций подскочит впятеро. Если акции стоили один доллар, они будут стоить пять. Если в результате обратного деления у инвестора на руках оказывается менее одной новой акции, ему просто выплачивают денежную компенсацию.
Поскольку обратное деление обычно предпринимается для выполнения требований биржи, то такое событие бросает тень на репутацию компании, показывая, что ее акции очень слабые. Поэтому обратное деление воспринимается инвесторами негативно, и акции часто падают в цене после того, как оно происходит.
Работа с акциями после обратного деления
До этого мы рассматривали теоретические аспекты обратного деления акций. Но существуют ли какие-то фактические подтверждения того, что данное событие ухудшает доходность инвестиции? Чтобы ответить на этот вопрос, я провел тестирование на исторических данных.
Как найти обратное деление, используя нескорректированные данные
Одна из трудностей анализа акций, прошедших обратное деление, связана с их поиском. Дело в том, что после деления исторические данные автоматически корректируются. То есть, глядя на график, нельзя определить, имело ли место деление вообще.
Возьмем для примера следующий график xG Technology Inc. (XGTI).
16 декабря в этой акции произошло обратное деление 1:10. Как показывает синяя линия (она отображает не скорректированную цену), цена акции за одну ночь выросли в цене с тридцати центов до трех долларов, то есть в десять раз.
Однако на свечном графике мы видим гораздо менее волатильную картину. Здесь акция в течение двух последних месяцев торгуется в диапазоне от 3-5 долларов. Этот график был пересчитан с учетом деления 1:10. В большинстве платформ мы увидим именно такой график, а не синюю линию.
Еще один пример — график Apple (AAPL), начиная с 2014 года.
Здесь синяя линия тоже показывает не скорректированную цену. Складывается впечатление, что в октябре 2014 года акции Apple обвалились на 80%. На самом деле в акции произошло деление 7:1, а фактическая стоимость компании практически не изменилась.
Большинство графических платформ отображают пересчитанные исторические данные, и это правильно. Иметь скорректированный график — очень важно для трейдера. Если торговать по не скорректированному графику, можно ошибочно подумать, что цена акции выросла или упала на несколько тысяч процентов, хотя изменилось только количество акций в обращении , а капитализация компании осталась прежней.
Недостаточно быстрый пересчет графика может стать настоящей проблемой. Многие наивные инвесторы поторопятся войти в такую акцию, не понимая, что движение, которое они видят на своем экране не настоящее.
Для проведения анализа исторических данных и создания торговых стратегий нужно учитывать как скорректированные, так и не скорректированные цены. В случае обратного деления, возможность получить не пересчитанные цены позволяет находить такие акции и анализировать эффект от данного события. К счастью, такие данные можно найти на некоторых интернет-ресурсах.
Изменения стоимости акций после обратного деления
Понимая разницу между скорректированными и не скорректированными графиками, можно проанализировать, чего стоит ожидать от акции после процедуры обратного деления.
Я исследовал поведение акций после такого события на четырех разных таймфреймах. В тестировании участвовали акции с низкой капитализацией, входящие в индекс Russell. Период исследования — с января 2008 по декабрь 2016 года. Я не рассматривал акции дороже 50 долларов. В анализе участвовали также бумаги, исключенные из котировальных списков.
Кол-во дней после обратного деления
Как видно из приведенной выше таблицы, доходность инвестиций после обратного деления как правило была отрицательной.
- Средняя доходность за 5 дней после обратного деления составляла -1.66%, и только 40% акций за этот период времени приносили прибыль.
- Средняя доходность за 10 дней была еще хуже: -4.43%, а процент прибыльных позиций составлял 36%.
- Средняя доходность за 20 дней составила -4.97%, при 41% прибыльных позиций.
- Средняя доходность за 50 дней после обратного деления тоже была убыточной: -5.03%, при 40% прибыльных позиций.
Хотя в большинстве случаев наблюдалось падение стоимости акций, некоторые компании демонстрировали трехзначный рост. Но это были исключения из правил.
Примеры обратного деления акций
Ниже приведено несколько примеров изменения стоимости акций после обратного деления.
Компания Progressive Gaming International провела обратное деление своих акций в сентябре 2008 года. Как и многие другие, акция продолжила терять стоимость и в конечном итоге была исключена из биржевых котировок.
Компания Scorpio Bulkers Inc. провела обратное деление своих акций накануне 2015 года. За последующие 10 дней бумаги упали в цене на 63%.
REN — пример того, что обратное деление не всегда заканчивается плохо для акции. В течение 50 дней стоимость бумаг компании увеличилась в четыре раза.
Создание торговой стратегии на основе обратного деления
Приведенный выше анализ позволяет предположить, что покупка акции после обратного деления — плохой вариант, и что более успешной может быть торговля в шорт . То есть акцию можно продать в шорт сразу после обратного деления и снова выкупить спустя несколько дней.
Для реализации данной стратегии необходимо ежедневно следить за новостями, чтобы не пропустить объявления о предстоящем обратном делении. Один из вариантов решения данной задачи — установить Google Alerts и задать ключевое слово «reverse split» для сканирования ежедневных новостей.
Ограничения, связанные с торговлей в шорт
Хотя предыдущий анализ дает веские основания избегать покупки акций, прошедших процедуру обратного деления, и торговать их только в шорт, следует принимать в расчет некоторые ограничения, связанные с таким подходом.
Главное из них состоит в том, что шортовые стратегии являются очень рискованными. Торгуя в шорт без использования стоповых ордеров, можно понести неограниченные потери. И даже если стоповый ордер выставлен, он не будет исполнен по нужной цене в случае импульсного ценового движения между торговыми сессиями.
Еще один негативный момент — шортовые стратегии трудно моделировать. Как показывает тестирование на истории, торговля в шорт дешевых акций после обратного деления может принести, в среднем, прибыль 4.43% за 10 дней. Но это при условии, что нам удастся найти бумаги, доступные для торговли в шорт. На практике многие акции с микрокапитализацией нельзя шортить. При тестировании на истории нет возможности каким-либо образом учесть доступность акции.
Я провел тестирование на истории с учетом комиссии $0.05 за одну акцию и получил среднюю прибыль при торговле в шорт в размере 3.52%, что довольно неплохо.
Кривая баланса торгового счета
Поскольку тестировать такие бумаги трудно, при торговле ими следует проявлять повышенную осторожность. Продажа в шорт дешевых инструментов и инструментов с низким числом акций в обращении связана с повышенными рисками. Они могут быстро взлетать на всплесках объема и за счет манипуляций. Статистически резкие движения после обратного деления происходят крайне редко, но поскольку случиться может что угодно, следует торговать небольшими позициями и использовать стоповые ордера, чтобы не получить маржин-колл.
Выводы
Анализ показал, что чаще всего после обратного деления цена акций падает. Не зря инвесторы с подозрением относятся к акциям после обратного деления или вообще избегают работы с ними. Если акция из вашего портфеля проходит через такое событие, — это плохой знак.
Приведенная выше информация указывает на то, что торговля в шорт акциями после обратного деления может приносить прибыль, но при этом следует помнить о рисках, связанных с торговлей в шорт дешевых акций, и не брать крупные торговые позиции.
3.6. Обратные операции. Операция деления. Дроби
Давайте вспомним, что такое уравнения и как они решаются. Пусть требуется решить следующее уравнение относительно неизвестной переменной $x$:
Фактически нам дано, что если подействовать оператором
на переменную $x$, то в результате получается $8$. Чтобы найти значение $x$, мы берем еще один оператор, а именно
и действуем им на обе части данного нам уравнения:
После очевидных упрощений получаем:
Таким образом, два оператора, с которыми мы тут имеем дело,
устроены таким образом, что действие одного оператора полностью отменяет действие другого. Это можно записать в таком виде:
Про такую ситуацию говорят, что оператор $<(. ) - 5>$ является обратным к оператору $<(. ) + 5>$. С тем же успехом можно сказать, что оператор $<(. ) + 5>$ является обратным к оператору $<(. ) - 5>$, или же, что эти два оператора являются взаимно обратными.
Давайте теперь решим такое уравнение:
Для этого нам мог бы пригодиться оператор, обратный к
Таким обратным оператором, очевидно, является
Поскольку действия взаимно обратных операторов «гасят» друг друга, мы быстро приходим к ответу:
Любопытная ситуация возникает, если рассмотреть такое уравнение:
Нам надо подобрать оператор, обратный к $<5 - (. )>$. Да ведь это же он сам и есть! Действительно,
Подействовав этим оператором на обе части уравнения, получаем:
Рассмотрим теперь уравнения с участием умножения. Например, такое:
Каким оператором тут следует воспользоваться? До сих пор мы фактически пользовались оператором деления нацело:
Этот оператор, безусловно, позволит нам решить уравнение, но он, прямо скажем, не так хорош, как все предыдущие. Во-первых, он неприменим к числам, которые не делятся нацело на $3$, а во-вторых, его можно поставить только после того выражения, на которое он действует. Операторы других арифметических действий, слегка изменив, можно поставить и с другой стороны, например:
А для оператора деления $<(…) / 3>$ такой возможности не существует. Он явно нуждается в «доработке». Давайте еще раз взглянем на уравнение
Тут бы очень кстати пришелся новый, усовершенствованный оператор деления, который можно было бы поставить перед выражением $3x$ и который был бы обратным к оператору $<3(…)>$, то есть отменял бы его действие. Такой оператор действительно есть. Называется он «одна третья часть от» или, короче, «одна треть» и обозначается так:
Разумеется, обычно это записывается в упрощенном виде, без многоточия:
Но, пользуясь тем, что сомножители можно произвольно менять местами, мы также вправе написать:
Или даже в еще более общем виде
$\dfrac<\,1\,> <3>(a \cdot 3 \cdot b) = a \cdot b$.
Иначе говоря, оператор $\frac<\,1\,><3>$ выискивает тройку в стоящем после него произведении чисел и уничтожает ее. Но тогда спрашивается, а можно ли этот оператор применить к одному единственному числу? Например, к числу $15$ (которое стоит в левой части уравнения $<3x = 15>$, с которого мы начали свои рассуждения)? Разумеется, можно:
Да, но у нас тут всё так легко получилось только потому, что $15$ делится нацело на $3$, а как же быть с числами, которые на $3$ не делятся? Что, например, будет, если подействовать оператором $\frac<\,1\,><3>$ на число $2$? Тогда мы получим другой оператор, действие которого на произвольное число $x$ мы определим следующим образом:
Это очень похоже на равенство, с помощью которого мы записывали ассоциативность умножения (называемое в школе сочетательным свойством):
Теперь мы вправе считать, что переменная $a$ здесь может обозначать не только любое число, но и наш новый оператор деления, такой как $\frac<\,1\,><3>$, или $\frac<\,1\,><5>$, или $\frac<\,1\,><10>$. Согласно нашему определению, оператор $\frac<\,1\,> <3>2$ действует на произведение чисел, содержащее тройку, следующим образом:
$\Bigl(\dfrac<\,1\,> <3>2\Bigr) (3y) = \dfrac<\,1\,> <3>(2 \cdot 3y) = 2y.$
Иначе говоря, оператор $\frac<\,1\,> <3>2$ находит в последующем произведении тройку и заменяет ее на двойку. А если следом идет число, которое не делится на три, — например $5$ — тогда он превращается в новый оператор:
$\Bigl(\dfrac<\,1\,> <3>2\Bigr) 5 = \dfrac<\,1\,> <3>(2 \cdot 5) = \dfrac<\,1\,> <3>10$.
Этот оператор, будучи сам по себе совершенно бессмысленным, просто «ждет своего часа», когда после него окажется число, делящееся нацело на $3$. Мы, собственно, уже давно привыкли к такому положению дел, потому что с самого начала мы нечто подобное говорили про все числа вообще, которые обретают смысл только тогда, когда они «действуют» на какие-то предметы, например, на поросят или рубли.
Теперь давайте вспомним о нашем пожелании, чтобы новый оператор мог действовать на числа с разный сторон: как слева направо $\frac<\,1\,> <3>(. )$, так и справа налево $(…)\frac<\,1\,><3>$. Тут нам снова поможет равенство, выражающее свойство ассоциативности:
Договоримся считать, что здесь переменная $b$ может обозначать не только число, но и новый оператор деления. Тогда запись $<2\frac<\,1\,><3>>$ начинает оказывать на последующее произведение такое действие:
$\Bigl(2\dfrac<\,1\,><3>\Bigr) (3y) = 2 \Bigl(\dfrac<\,1\,> <3>(3y)\Bigr) = 2y$.
Мы видим, оператор $<2\frac<\,1\,><3>>$ действует точно так же, как и оператор $<\frac<\,1\,> <3>2>$, то есть выполняется операторное равенство:
Это то, что в случае целых чисел мы называли коммутативностью (переместительностью):
только на этот раз переменная $b$ может обозначать не только привычные числа, но и новые операторы.
Важный частный случай возникает, когда $$, $<3>>$:
Это равенство говорит нам о том, что операторы $3$ и $\frac<\,1\,><3>$ являются взаимно обратными.
Для полноты картины нам осталось договориться, что ассоциативность
распространяется также на тот случай, когда новый оператор стоит на месте последней из входящих сюда переменных, а именно $c$. Пусть, например, $$, $$, $
\[(3x) \Bigl(2 \dfrac<\,1\,><3>\Bigr) = (3x \cdot 2) \dfrac<\,1\,> <3>= (2x \cdot 3) \dfrac<\,1\,> <3>= 2x \Bigl(3 \dfrac<\,1\,><3>\Bigr) = 2x \cdot 1 = 2x.\]
Коммутативность и ассоциативность нового оператора деления означают, что его можно произвольно переставлять с операцией умножения. Пусть нам дано произведение любого числа каких угодно целых чисел. Если мы заходим подействовать на это произведение оператором $\frac<\,1\,><3>$, то мы вольны ставить его куда угодно: хоть в самое начало, хоть в самый конец, хоть где-нибудь посередине между какими-то сомножителями. Результат в любом случае будет одинаковым. Оператор отыщет в данном произведении тройку и уничтожит ее. А если тройки среди сомножителей не окажется, то вся запись превратится в один большой оператор, «ждущий своего часа», когда либо справа, либо слева от него кто-нибудь когда-нибудь всё же припишет тройку, или даже втиснет ее где-нибудь посередине. Важное уточнение: если среди сомножителей находится две тройки или более, то оператор $\frac<\,1\,><3>$ уничтожит только одну из них. А если троек в явном виде нет, но один из сомножителей можно представить в виде $3x$, то оператор превратит этот сомножитель просто в $x$.
Приведем теперь решение уравнения, которое навело нас на мысль о новом операторе:
Применяем к обеим частям оператор $\frac<\,1\,><3>$:
До сих пор мы подразумевали, что в выражении
переменная $x$ обозначает какое-то число. Но на самом деле за этой переменной может стоять любая вещь. Например,
Оператор $\frac<\,1\,><3>$ можно применять к любому объекту, который состоит из трех одинаковых частей или который можно разделить на три одинаковые части. Возьмем, например, отрезок
и разобьем его на три отрезка одинаковой длины:
Подействав оператором $\frac<\,1\,><3>$, получаем:
Отрезки исключительно хороши для наглядного представления новых операторов деления, потому что всякий отрезок легко разбить на любое число одинаковых частей. Но можно ли взять «одну треть от» коровы или автомобиля? В некотором смысле, да, можно. Допустим, нам дано, что с какого-то конвейера сходит один автомобиль за каждые три часа. Спрашивается: сколько автомобилей сходит с этого конвейера за один час? Ответ: «одна треть» автомобиля. Конечно, сама по себе «одна треть» автомобиля — это абсурд, бессмыслица. Но мы уже привыкли иметь дело с бессмыслицей, если она является временным, промежуточным результатом. Рано или поздно мы подействуем на «одну треть» автомобиля оператором $<3(. )>$ — и смысл снова восстановится. Например, нас могут спросить: а сколько автомобилей сходит с этого конвейера за сутки ($24$ часа)? Тогда мы напишем так:
Но вернемся к отрезкам и постараемся с их помощью наглядно представить себе равенство
Возьмем какой-нибудь отрезок и условимся считать, что длина его равна единице:
Подействуем на длину этого отрезка оператором $2(. )$, иначе говоря, сделаем его в два раза длиннее:
Полученный отрезок поделим на три равные части:
И возьмем одну такую часть:
Точно такой же отрезок можно получить другим способом. Снова берем отрезок, длина которого условно равна единице:
Делим его на три равные части:
И берем две из таких частей:
Как нетрудно убедиться, результаты в обоих случаях оказываются одинаковыми.
На практике, вместо того чтобы писать
обычно пишут несколько короче:
Это читается: «две третьих». Такая «двухэтажная» запись называется дробью. Горизонтальная линия называется дробной чертой. Число, которое стоит над дробной чертой, называется числителем. Число, которое стоит под дробной чертой, называется знаменателем. Такая запись очень удобна, когда мы пишем математические формулы на бумаге или на школьной доске, но она плохо вписывается в строки сплошного текста. Поэтому «двухэтажную» дробь часто переписывают в «одноэтажном» виде
или применяют, так сказать, промежуточный вариант:
«Одноэтажная» запись, $2/3$, содержит знакомый нам бинарный оператор деления
только на этот раз делимое не обязано делиться на делитель нацело. Поэтому операция, задаваемая этим оператором называется теперь не делением нацело, а просто делением, без всяких добавочных слов. В качестве знака деления может также использоваться двоеточие (главным образом в школьных учебниках):
В нашем курсе математики мы используем двоеточие только для обозначения деления с остатком. Кроме того, на клавишах калькуляторов для обозначения деления может применяться так называемый «обелюс»:
Следует отметить, что в некоторых случаях результат операции деления оказывается равным целому числу, например:
$15 / 3 = \dfrac<15> <3>= 15\,\dfrac<\,1\,> <3>= 5\cdot 3\,\dfrac<\,1\,> <3>= 5 \cdot 1 = 5.$
В этом случае новая операция деления превращается в деление нацело. А как записать результат, если числитель не делится нацело на знаменатель? Однозначного ответа на этот вопрос нет. В зависимости от ситуации мы будем представлять результат деления в разном виде. Об этом мы еще будем подробно говорить в будущем. Пока лишь замечу, что у математиков считается совершенно в порядке вещей представлять ответы на математические задачи в виде дробей — таких, как, например,
Это само по себе считается вполне полноценным ответом и никаких дальнейших вычислений не требует.
Настало время сделать кое-какие обобщения и уточнить формулировки. Пусть дано целое число $n$, отличное от нуля (оно может быть как положительным или отрицательным). Это число, как мы знаем, задает оператор умножения:
У этого оператора есть обратный оператор:
(читается «одна энная» или «один поделить на эн»). Обратный оператор определяется таким образом, что выполняются следующие операторные равенства:
или, если опустить многоточия:
также называют дробным числом, обратным к числу $n$. Поэтому числа
являются взаимнообратными. Действие оператора «одна энная» на произвольное целое число $k$
называется умножением числа «одна энная» на число $k$. При этом выполняется свойство коммутативности (переместительности):
Операция деления произвольного целого числа $k$ на ненулевое целое число $n$ записывается в виде «двухэтажной» дроби
или же в строчку
и определяется как
Иначе говоря, деление числа $k$ на число $n$ — это то же самое, что и умножение числа $k$ на число, обратное к $n$.
При делении числа $k$ на число $n$ следует различать два случая:
Случай 1. Числа $k$ и $n$ связаны между собой соотношением
где $m$ — какое-то целое число. Тогда, подействовав на обе части этого равенства оператором $1/n$, получаем:
Фактически мы тут имеем дело с делением нацело, которое лишь надо дополнить следующими правилами расстановки знака «минус»:
(Эти правила моментально следуют из подобных же правил для умножения.) Пусть, например, $
Случай 2. $k$ не делится нацело на $n$. Например, $k = 2$ и $n = 3$. Тогда говорят, что результат деления является дробным числом. При этом запись дробного числа, вообще говоря, ничем не отличается от записи операции деления (разве что иногда возможны кое-какие упрощения, речь о которых впереди). Так, мы можем сказать: «Два поделить на три равно две третьих», — однако и «два поделить на три», и «две третьих» записываются совершенно одинаково, а именно любым из трех способов:
Следует особо отметить, что умножение на ноль не имеет обратного оператора. Казалось бы, следуя общим правилам действия новых операторов деления, мы могли бы написать:
Проблема, однако, в том, что ноль, на который действует оператор, можно также представить в виде $<0 \cdot 2>$, или $<0 \cdot 3>$ и так далее. И тогда получается
Выходит, что выражение $<\frac<\,1\,> <0>0>$ может быть равно любому числу. Не то чтобы с этой неприятностью уж совсем нельзя было бороться, но мы пока этим заниматься на будем, а вместо этого просто введем строгое правило: делить на ноль нельзя.
Заметим также, что в сложных выражениях без скобок операция деления выполняется прежде операций сложения и вычитания. Таким образом, выражение
следует понимать как $<2 + (1 / 3)>$, а не как $<(2 + 1) / 3>$. В этом смысле деление имеет ту же приоритетность, что и умножение. Вместе с тем, выражения без скобок, в которых одновременно присутствуют умножение и деление, могут вызывать некоторую путаницу. Вообще-то, принято считать, что в этом случае операции следует выполнять последовательно слева направо. Так,
$12 / 3 \cdot 4 = (12 / 3) \cdot 4$.
Однако почти та же самая запись с использованием переменных может иметь другой смысл:
Поэтому следует избегать записей вида $<12 / 3 \cdot 4>$ или $$ и либо прибегать к «двухэтажности», либо расставлять скобки, которые избавляют от неоднозначности.
Конспект
1. Два оператора называются взаимно обратными, если действие одного из них отменяется действие другого. Пример: $<(…) + 5>$ и $<(…) - 5>$. С помощью обратных операторов удобно решать уравнения. Подействовав, например, оператором $-5$ на обе части уравнения $
2. Пусть $n$ — любое целое число, отличное от нуля. У оператора умножения $
или, короче, $<\frac<\,1\,>
Случай 1. Объект $x$ можно разбить на $n$ одинаковых частей, или, иначе говоря, его можно представить в виде $
Случай 2. Объект $x$ нельзя разбить на $n$ одинаковых частей. Тогда результат действия $\frac<\,1\,>
Этот оператор «ждет своего часа»: когда-нибудь мы подставим сюда вместо (…) что-то такое, что можно разбить на $n$ одинаковых частей и вернемся к случаю 1.
3. Оператор $\frac<\,1\,>
и ассоциативности (сочетательности)
(Здесь $a$, $b$ и $c$ являются целыми числами.) Это значит, что при вычислении произведения любого количества чисел мы вправе умножать их в любом порядке, даже если один из сомножителей равен $\frac<\,1\,>
4. Операция деления произвольного целого числа $k$ на ненулевое целое число $n$ записывается в виде «двухэтажной» дроби, где $k$ является числителем, а $n$ — знаменателем,
или же в строчку $k/n$ (а также $^k\!/\!_n$) и определяется как умножение числа $k$ на число $\frac<\,1\,>
Иначе говоря, деление числа $k$ на число $n$ — это то же самое, что и умножение числа $k$ на число, обратное к $n$. Если $k$ представимо в виде $