Как из двоичной системы перевести в десятичную

Как из двоичной системы перевести в десятичную

Перевод чисел в позиционных системах счисления

Человек использует десятичную систему счисления, а компьютер — двоичную систему счисления. Поэтому часто возникает необходимость перевода чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления.

Преобразование чисел из двоичной системы счисления в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать двоичное число в развернутой форме и вычислить его значение.

Возьмем любое двоичное число, например 10,11₂. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

10,11₂ = 1 × 2 1 + 0 × 2 0 + 1 × 2 -1 + 1 × 2 -2 = 1 × 2 + 0 × 1 + 1 × 1/2 + 1 × 1/4 = 2,75₁₀.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное следующий:

1) последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы счисления (на 2) до тех пор, пока частное от деления не окажется равным нулю;

2) получить искомое двоичное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 19₁₀ в двоичную систему счисления, записывая результаты в таблицу (табл. 4.2).

Таблица 4.2. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную

В результате получаем двоичное число: А₂ = 10011₂.

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления.

Алгоритм перевода десятичной дроби в двоичную следующий:

1) последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений;

2) получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведений в прямой последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75₁₀ в двоичную систему, записывая результаты в таблицу (табл. 4.3).

Таблица 4.3. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную

В результате получаем двоичную дробь: А₂ = 0,11₂.

Перевод чисел, содержащих и целую, и дробную часть, производится в два этапа. Отдельно переводится по соответствующему алгоритму целая часть и отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть от дробной отделяется запятой.

Перевод чисел в различные системы счисления с решением

Калькулятор позволяет переводить целые числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв). Длина чисел не имеет предела. Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку «Перевести». Вы увидите результат перевода, а также значение числа в других часто используемых с/c. Чтобы быстро поменять местами с/с нажмите на кнопку конвертации, которая находится между вторым и третим полемы

Системы счисления

Кратко об основных системах счисления

Системы счисления — это способы представления чисел с помощью цифр.

• Десятичная система счисления : в этой системе используются цифры от 0 до 9 . Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе.
• Двоичная система счисления : в этой системе используются только две цифры — 0 и 1 . Используется в вычислительной технике.
• Восьмеричная система счисления : в этой системе используются восемь цифр — от 0 до 7 . Каждая цифра обозначает определенное количество единиц, которые соответствуют ее разряду. Также иногда применяется в цифровой технике.
• Шестнадцатеричная система счисления : в этой системе используются шестнадцать цифр — от 0 до 9 и от A до F . Наиболее распространена в современных компьютерах. При помощи неё, например, указывают цвет. #FF0000 — красный цвет.

Перевод в десятичную систему счисления

Имеется число a1a2a3 в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на bn, где n — номер разряда. Таким образом, (a₁a₂a₃)_b = (a₁*b 2 + a₂*b 1 + a₃*b 0 )₁₀ .

Пример: 101₂ = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5₁₀

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную

Перевести двоичное число в десятичное достаточно просто, для этого необходимо воспользоваться формулой. Важное замечание состоит в том, что для перевода целого и дробного двоичного числа используются разные, хоть и схожие, формулы.

Алгоритм перевода целого двоичного числа в десятичную систему счисления

Для перевода целого двоичного числа в десятичное, обратимся к развернутой форме записи числа для позиционной системы счисления:

где A — число, q — основание системы счисления, а n — количество разрядов числа.

Зная основание системы счисления (2), выведем формулу перевода:

Пример 1: Перевести число 1010 из двоичной системы в десятичную

Применив выведенную формулу, получим:

1010₂=1 ∙ 2 3 + 0 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 0 ∙ 2 0 = 1 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10₁₀

Алгоритм перевода двоичной дроби в десятичную систему счисления

Как и в предыдущем случае, для перевода двоичной дроби в десятичную систему, воспользуемся развернутой формой представления дробей в позиционных системах:

где A — число, q — основание системы счисления, n — количество целых разрядов, а m — количество дробных разрядов числа. Зная основание системы счисления (2), выведем формулу перевода:

Пример 2: Перевести число 0,1010 из двоичной системы в десятичную

Применив выведенную формулу, получим:

0.1010₂=0 ∙ 2 0 + 1 ∙ 2 -1 + 0 ∙ 2 -2 + 1 ∙ 2 -3 + 0 ∙ 2 -4 = 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0.5 + 0 ∙ 0.25 + 1 ∙ 0.125 + 0 ∙ 0.0625 = 0 + 0.5 + 0 + 0.125 + 0 = 0.625₁₀

Пример 3: Перевести число 1010,1010 из двоичной системы в десятичную

1010.1010₂=1 ∙ 2 3 + 0 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 0 ∙ 2 0 + 1 ∙ 2 -1 + 0 ∙ 2 -2 + 1 ∙ 2 -3 + 0 ∙ 2 -4 = 1 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0.5 + 0 ∙ 0.25 + 1 ∙ 0.125 + 0 ∙ 0.0625 = 8 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125 + 0 = 10.625₁₀

Как перевести число из двоичной системы в десятичную

В задачах по теме Системы счисления часто требуется перевести число из двоичной в десятичную систему счисления. Чтобы выполнить такое задание, нужно воспользоваться алгоритмом перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную. Для проверки результата достаточно выполнить обратное действие: перевести число из десятичной системы в двоичную. А также можно воспользоваться онлайн калькулятором для перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Алгоритм перевода из двоичной системы в десятичную

1. Пронумеровать разряды двоичного числа справа налево, начиная с нуля.
2. Умножить каждый ненулевой разряд на 2 в степени его номера и сложить результаты.

Примеры перевода чисел из двоичной системы в десятичную

Рассмотрим, как происходит перевод из одной системы счисления в другую на примерах:

Перевести число 111100110₂ из двоичной системы в десятичную.

Нумеруем разряды числа справа налево, начиная с нуля:

И вычисляем результат:

111100110₂ = 1 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 1 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 = 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 486₁₀

Перевести число 101000111₂ из двоичной системы в десятичную.

Нумеруем разряды числа справа налево:

И вычисляем результат:

101000111₂ = 1 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 256 + 64 + 4 + 2 + 1 = 327₁₀

Поделитесь статьей с одноклассниками «Как перевести из двоичной системы в десятичную, алгоритм перевода чисел».