Как найти спектральную плотность импульса

6

Спектральные плотности некоторых сигналов

Рассмотрим спектральную плотность прямоугольного импульса длительности и амплитуды . Функция описывает прямоугольный импульс длительности и единичной амплитуды:

Спектральная плотность прямоугольного импульса равна:

• Спектральная плотность является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса .
• Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
• носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
• Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна , ввиду разрыва первого рода (скачка) сигнала во временно́й области.

Рассмотрим треугольный импульс длительности и амплитуды :

Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.

Можно заметить, что треугольный импульс длительности и амплитуды может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса длительности и амплитуды c самим собой, как это показано на рисунке 3.

Обратим внимание, что один из углов маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала , входящего в интеграл свертки.

Для различного сдвига мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения сигнала и его сдвинутой инверсной во времени копии .

Таким образом, мы можем применить свойство преобразования Фурье свертки сигналов и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности прямоугольного импульса длительности и амплитуды :

• Спектральная плотность треугольного импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
• Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
• носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
• Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна . Это выше, чем скорость убывания боковых лепестков прямоугольного импульса, ввиду отсутствия разрывов сигнала во временно́й области.
• Главный лепесток спектральной плотности в два раза шире, чем главный лепесток спектральной плотности прямоугольного импульса при той же длительности .

Гауссов импульс задается выражением:

График гауссова импульса при различном значении и показан на рисунке 4а.

Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:

График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра показан на рисунке 4б. C увеличением увеличивается ширина гауссова импульса во временно́й области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.

Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс , который задается выражением:

Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра приводит к сужению импульса во временно́й области.

Рассмотрим спектральную плотность двустороннего экспоненциального импульса:

• Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
• Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
• носит затухающий характер.
• Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием излома во временно́й области при .

На рисунке 5б показан вид спектральной плотности при различном значении . Можно видеть, что при увеличении параметра , спектральная плотность сужается (импульс во временно́й области —расширяется).

Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:

Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:

• Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , ввиду отсутствия временно́й симметрии импульса.
• Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
• носит затухающий характер.
• Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием разрыва во временной области при .

Поскольку спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , то можно представить в виде амплитудно- и фазочастотной характеристик:

Рассмотрим спектральную плотность сигнала вида , где — параметр определяющий ширину главного лепестка функции , как это показано на рисунке 8а.

Для получения спектральной плотности сигнала воспользуемся свойством двойственности преобразования Фурье, рассмотренным в в предыдущем параграфе. Тогда из выражения (2) можно записать:

Важным частным случаем является , тогда будет иметь спектральную плотность , что соответствует частотной характеристике идеального фильтра нижних частот. Временно́й сигнал определяет импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот.

В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых непериодических сигналов: прямоугольного, треугольного, гауссова импульса, а также одностороннего и двустороннего экспоненциальных импульсов.

Были приведены аналитические выражения для спектральных плотностей каждого из сигналов, а также их частотные свойства.

Спектральная плотность треугольного импульса

Найдем спектральную плотность треугольного импульса, изображенного на рис. 2.15, а. Ее можно вычислить путем непосредственного применения преобразования Фурье (2.12), однако это несколько громоздко, так как получающиеся при этом интегралы приходится вычислять по частям. Значительно проще и изящнее оказывается метод, основанный на применении теорем о спектрах.

Продифференцируем треугольный импульс один раз (рис. 2.15, б) и затем еще один раз (рис. 2.15, в). Получающийся при этом сигнал состоит из трех
d-функций, причем каждая из них умножается на высоту соответствующего скачка первой производной исходного сигнала:

Зная спектральную плотность d-функции и используя теорему о запаздывании, запишем выражение для спектральной плотности второй производной треугольного импульса:

Используя формулу Эйлера, получаем:

Чтобы определить искомую спектральную плотность треугольного импульса, нужно спектральную плотность второй производной разделить на (jw) 2

Преобразуем выражение (2.30) к виду, более удобному для анализа:

График спектральной плотности треугольного импульса изображен на рис. 2.16.

По сравнению со спектральной плотностью прямоугольного импульса спектральная плотность треугольного импульса имеет более низкий уровень боковых лепестков: первый лепесток равен 0,04 от максимума по сравнению с 0,2 для прямоугольного импульса, и с повышением частоты уровень боковых лепестков убывает как 1/ w 2 (для прямоугольного импульса – как 1/ w). Это объясняется тем, что треугольный импульс имеет более гладкий характер, чем прямоугольный, в нем отсутствуют вертикальные фронты, для формирования которых нужен достаточно высокий уровень высокочастотных составляющих спектра.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

ЗАДАЧА 2. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

и) расчет спектральной плотности импульса и построение АЧХ и ФЧХ импульса и амплитудного спектра дискретизованного сигнала произвести на ЭВМ.

Рисунок 2.1- Вид импульса

Вид импульса приведен на рисунке 1.

Длительность импульса фи=4 мкс,

Шаг дискретизации T=0,25 мкс

Выполнение задания 2

Математическая модель импульса

Заданный импульс описывается формулой:

Подставив значения в (2.1), получим:

Спектральная плотность импульса

Для определения спектральной плотности импульса воспользуемся прямым преобразованием Фурье (2.27)[3]:

Подставим сигнал (2.1)

Теперь воспользуемся формулой Эйлера:

Из (2.3) нетрудно вывести следующее соотношение:

Используем формулу (2.4) в (2.2):

Подставим числовые значения:

АЧХ и ФЧХ спектральной плотности

График АЧХ спектральной плотности приведен на рисунке 2. При

АЧХ максимальна и численно равна площади импульса. А при функция принимает нулевые значения:

Рисунок 2.2 — АЧХ спектральной плотности импульса

Рисунок 2.3 — ФЧХ спектральной плотности импульса

Влияние задержки и длительности импульса на АЧХ и ФЧХ спектральной плотности

Изобразим импульс вдвое меньшей длительности:

Рисунок 2.4 — Импульс вдвое меньшей длительности

Используем формулу (2.5), получим спектральную плотность импульса вдвое меньшей длительности:

Спектральная плотность импульса вдвое меньшей длительности:

Рисунок 2.4 — АЧХ спектральной плотности импульса вдвое меньшей длительности (пунктирная линия)

Как видно из рисунка 2.4, при уменьшении длительности импульса его максимальное значение F(0) уменьшается, а сам спектр расширяется.

Рисунок 2.5 — ФЧХ спектральной плотности при ф/2

Дискретизация сигнала

Количество отсчетов в дискретизованном сигнале:

Рисунок 2.6 — Дискретизованный сигнал

Математическая модель дискретизованного сигнала

Дискретизованный импульс описывается формулой:

Подставив значения, получим:

Спектральная плотность дискретизованного сигнала

Спектр дискретизованного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых между собой на копий спектра исходного непрерывного сигнала u(t).

Спектр дискретизованного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых между собой нащД =2р/Т копий спектра исходного непрерывного сигнала u(t).

Спектр расползается по всей шкале частот в обе стороны относительно центральной частоты , причем соседние копии спектра расположены друготносительно друга на длине одной частоты дискретизациищД.

Из-за наличия в формуле множителя 1/Т спектр дискретизированного сигнала имеет размерность, совпадающую с размерностью сигнала.

Спектральный анализ непериодических сигналов

Непериодические сигналы можно разделить на два класса:

— одиночные импульсные сигналы (например, рис. 8.1а);

— непрерывные случайные (шумовые) сигналы (например, рис. 8.1б).

Спектральный анализ случайных процессов проводится специфическими методами и не рассматривается в настоящем пособии. В дальнейшем будут рассматриваться только одиночные импульсы.

Одиночный импульсный сигнал или пачку импульсов можно рассматривать как периодический процесс, но с бесконечным периодом . В этом случае для комплексной амплитуды -й гармоники получим

Рекомендуемые материалы

, (8.1)

то есть она является бесконечно малой величиной. Из выражения для частоты первой гармоники , которая равна ин-

тервалу частот между соседними гармониками в спектре сигнала, получим

. (8.2)

Таким образом, ряд Фурье не пригоден для спектрального анализа непериодических сигналов. В этом случае используют преобразование (интеграл) Фурье. Прямое преобразование Фурье имеет вид

, (8.3)

а обратное преобразование соответственно

. (8.4)

Функцию называют полной комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала . Можно показать, что

, (8.5)

где — бесконечно малая амплитуда гармоники на частоте (при сплошном спектре использовать номер гармоники

нельзя, так как он равен бесконечности), а — бесконечно

малый интервал частот между соседними гармониками. Это выражение типично для физического определения плотности.

Согласно (8.3) или (8.5) спектральная плотность измеряется в единицах сигнала, умноженных на секунду (или деленных на единицу частоты). Она является комплексной функцией частоты и может быть представлена в виде

. (8.6)

Модуль комплексной спектральной плотности , равный

(8.7)

называют спектральной плотностью амплитуд сигнала. Она измеряется в единицах сигнала, умноженных на секунду (или деленных на единицу частоты). Можно использовать термин «спектр амплитуд», не забывая, что речь идет о спектральной плотности.

Спектр фаз непериодического сигнала определяется выражением

(8.8)

Он не является «плотностью» , так как начальные фазы гармоник с бесконечно малыми амплитудами имеют конечные значения и измеряются в радианах или градусах.

Спектры амплитуд и фаз полностью определяют комплексную спектральную плотность сигнала, а значит в соот-

ветствии с обратным преобразованием Фурье и сам исходный сигнал

В качестве примера рассмотрим одиночный прямоугольный импульс длительностью , показанный на рис. 8.2. Его полная комплексная спектральная плотность равна

. (8.9)

Ее модуль представляет собой спектральную плотность амплитуд , равную

, (8.10)

а спектр фаз имеет вид

(8.11)

Графики спектров амплитуд и фаз одиночного прямоугольного импульса с амплитудой В и длительностью мс

показаны на рис. 8.3.

Максимум спектральной плотности амплитуд имеет место при и равен (получите этот результат самостоятельно, используя известный их курса математического анализа первый замечательный предел)

Сравнивая (7.23) и (8.10), нетрудно убедиться, что форма спектральной плотности амплитуд одиночного прямоугольного импульса совпадает с формой огибающей спектра амплитуд периодической последовательности тех же импульсов.

Спектральные функции обладают следующими свойствами:

— спектральная плотность амплитуд четная функция частоты ;

— действительная часть комплексной спектральной плотности четная функция частоты;

— мнимая часть комплексной спектральной плотности нечетная функция частоты;

— спектр фаз нечетная функция частоты .

Так как отрицательные частоты не имеют физического смысла, то спектральные характеристики необходимо рассматривать только в положительной области частот.

8.2. Энергетические характеристики

Непериодические сигналы характеризуются полной энергией, равной

, (8.12)

так как их средняя мощность при бесконечном периоде равна нулю.

В частотной области энергия сигнала определяется выражением

, (8.13)

которое называют теоремой Релея. Как видно, энергия сигнала определяется его спектральной плотностью амплитуд и не зависит от фазового спектра.

Функцию называют спектральной плотностью энергии сигнала или его энергетическим спектром,

, (8.14)

при этом энергия сигнала будет равна

. (8.15)

8.3. Ширина спектра непериодического сигнала

Определим ширину спектра Ш как частотный диапазон, в котором сосредоточена заданная доля энергии сигнала.

Рассмотрим энергию сигнала в полосе частот от 0 до , равную

. (8.16)

Зависимость нормированной энергии от для сигнала на рис. 8.2 при мс показана на рис. 8.4. Из графика следует, что при заданной доле энергии ширина спектра равна 512 рад/c. С ростом величины

Рис. 8.4 ширина спектра значи-

тельно возрастает, как и в случае периодических сигналов.

Можно использовать независимое от определение эффективной ширины спектра в виде

, (8.17)

где — максимальное значение энергетического спектра. Зависимость для сигнала на рис. 8.2 при В и мс показана на рис. 8.5.

Величина равна ширине прямоугольника, показанного пунктиром на рис. 8.5, высота которого равна . Для одиночного прямоугольного импульса вида рис. 8.2 энергия сигнала согласно (8.12) равна

, (8.18)

энергетический спектр имеет вид

, (8.19)

а его максимум равен

, (8.20)

тогда для эффективной ширины спектра получим

. (8.21)

В рассматриваемом случае при мс эффективная ширина спектра равна рад/c. Ранее была определена полоса частот, в которой сосредоточено 90% энергии сигнала, существенно большая и равная 512 рад/c.

На практике используется инженерная оценка ширины спектра одиночных импульсных сигналов с длительностью (например, рис. 8.2) вида

(рад/с) или (Гц) (8.22)

Те же оценки использовались и для периодических сигналов. Чаще всего используются соотношения с единичным множителем вида

Эта оценка при мс дает значение рад/с.

8.4. Спектральные характеристики экспоненциального

Рассмотрим экспоненциальный одиночный импульс вида

(8.24)

график этой функции при и 1/c показан на рис. 8.6. Определим полную комплексную спектральную плотность

(8.25)

При этом спектральная плотность амплитуд равна

, (8.26)

а энергетический спектр определяется выражением

. (8.26)

Согласно (8.16), функция имеет вид

. (8.27)

На рис. 8.7а показана зависимость при В и 1/c. Полная энергия сигнала равна ,

, (8.28)

тогда для ширины спектра получим

. (8.29)

Зависимость ширины спектра от параметра при 1/c показана на рис. 8.7б. Ширина спектра будет равна при , то есть в полосе частот сосредоточено 50% энергии сигнала. При ширина спектра существенно больше и стремится к бесконечности при .

С ростом параметра сигнала сигнал затухает быстрее

(импульс становится короче) и ширина спектра возрастает.

8.5. Свойства спектров непериодических сигналов

Спектральное преобразование непериодического сигнала линейно, то есть комплексная спектральная плотность суммы сигналов равна сумме спектральных плотностей каждого из суммируемых сигналов.

Теорему смещения можно сформулировать следующим образом.

Взяв модули левой и правой частей (8.30), получим

, (8.31)

то есть спектральная плотность амплитуд не изменяется при временной задержке сигнала.

Вычислив аргументы обеих частей выражения (8.30), получим соотношения для спектров фаз в виде

. (8.32)

Рассмотрим влияние симметрии сигнала на свойства спектральных характеристик.

Для четного сигнала комплексная спектральная плотность является действительной функцией частоты, при этом в (8.6) , а фазовый спектр принимает значения 0 или .

Для нечетного сигнала комплексная спектральная плотность является мнимой функцией частоты, , а фазовый спектр принимает значения .

8.6. Задания для самостоятельного решения

Задание 8.1. Определите и постройте графики спектров амплитуд и фаз сигналов, показанных на рис. 8.8.

Задание 8.2. Найдите спектры амплитуд и фаз сигналов, показанных на рис. 8.9, постройте их графики. Сравните результаты расчета спектров амплитуд сигналов на рис. 8.8 и рис. 8.9.

Информация в лекции «2 Поиск и замена данных» поможет Вам.

Задание 8.3. Вычислите полную комплексную спектральную плотность сигнала на рис. 8.8а, используя результаты, полученные для сигнала на рис. 8.2 и теорему смещения.

Задание 8.4. Определите комплексную спектральную плотность пачки из двух импульсов, показанных на рис. 8.10, используя результаты, полученные для одиночного импульса на рис. 8.2 и теорему смещения. Постройте графики спектров амплитуд и фаз.

Задание 8.5. Определите комплексную спектральную плотность пачки из двух импульсов, показанных на рис. 8.11, используя результаты, полученные для одиночного импульса на рис. 8.2 и теорему смещения. Проанализируйте графики спектра амплитуд для различных значений временной задержки второго импульса.