Функциональные схемы и структурные формулы логических устройств — Построение алгебры высказываний — Краткий теоретический справочник
Всякое устройство ЭВМ, выполняющее некоторое действие над цифровыми сигналами, можно рассматривать как функциональный преобразователь, на входы которого с помощью цифровых сигналов подаются значения аргументов функции (исходные двоичные числа), а на выходах получают значения функций, реализующих указанное действие для этих аргументов (выходные двоичные числа).
Преобразователь, который, получая сигналы об истинности отдельных высказываний, обрабатывает их и в результате выдаёт значение логических операций (отрицания, суммы, произведения), называется логическим элементом.
1. Логический элемент «НЕ» (инвертор) выдаёт на выходе сигнал, противоположный сигналу на входе. То есть если на входе в инвертор поступает 1, то на выходе будет 0, и наоборот. Физически инвертор можно реализовать при помощи реле с нормально замкнутыми (подпружиненными) контактами. Когда на обмотку реле подаётся ток (входной сигнал равен 1), реле срабатывает и размыкает соединение. Когда тока в цепи нет, цепь становится замкнутой. Условное обозначение инвертора представлено на рисунке 6.
2. Логический элемент «И» (конъюнктор) выдаёт на выходе значение логического произведения входных сигналов. Физически конъюнктор можно реализовать последовательным соединением переключателей. Условное обозначение конъюнктора представлено на рисунке 7.
3. Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) выдаёт на выходе значение логического сложения входных сигналов. Физически дизъюнктор можно реализовать параллельным соединением переключателей. Условное обозначение конъюнктора представлено на рисунке 8.
4. Цепочку логических элементов, в которой выходы одних элементов являются входами других, называют логическим устройством.
Схема соединения логических элементов, реализующая логическую функцию, называется функциональной (логической) схемой.
Формой описания функции, реализуемой логическим устройством, является (структурная) формула.
Пример. Определим формулу по заданной функциональной схеме (см. рис. 9).
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
Какая из структурных формул соответствует логической схеме
Сигнал, выработанный одним логическим элементом можно подавать на вход другого логического элемента. Это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов. На рисунке 15 показаны примеры таких цепочек.
На рисунке 15 а) элемент ИЛИ (дизъюнктор) соединен с элементом НЕ (инвертор), а на рисунке 15 б) — элемент И (конъюнктор) с элементом НЕ (инвертор). Каждую такую цепочку будем называть логическим устройством: поскольку она состоит из нескольких элементов.
| Цепочку из логических элементов будем называть логическим устройством. Схемы, соответствующие таким устройствам, называют функциональными . |
На рисунке 16 приведен пример более сложной функциональной схемы.
Составить логическую схему по функциональной формуле достаточно просто. Например, функциональная схема, изображенная на рисунке 16, имеет два входа A и B. До поступления на конъюнктор B отрицается, а затем отрицается результат логического умножения. Все это приводит нас к формуле
которая представляет собой структурную формулу логического устройства. Важно научиться решать и обратную задачу: по структурной формуле вычерчивать соответствующую ей функциональную схему. Усложним задачу. Пусть имеется произвольная логическая функция, требуется построить функциональную схему.
Алгоритм решения такой задачи начинается с построения таблицы истинности. Затем в таблице следует определить одну или несколько строк, с результатом равным 1. На следующем шаге необходимо выписать комбинацию входных переменных, соединенных логическим умножением. Если входная переменная в нужной нам строке имеет значение 0, то она должна войти в логическое выражение с отрицанием. Полученные таким образом конъюнкции требуется логически сложить. Далее полученную формулу нужно сократить с использованием логических законов. Рассмотрим этот алгоритм на следующем примере.
Задача 7. Начертить функциональную схему, соответствующую таблице истинности.
| A | B | F(A,B) |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Рассмотрим строки, которые в столбце F(A,B) дают истину (эти строки в таблице выделены). Составим по первой строке выражение (A следует отрицать, потому что в таблице стоит 0), аналогичное выражение по третьей строке дает . Соединяем два последних выражения союзом ИЛИ, получим . Вычерчиваем по логическому выражению функциональную схему.
| Логическую функцию F(A,B)=Ā Λ B V A Λ называют операцией XOR (исключающее или) и обозначают . |
Еще один пример построения функциональной схемы.
Начертить функциональную схему, соответствующую таблице истинности.
| A | B | C | результат |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Решение.
Выделяем в таблице строки, когда результатом функции является истина.
| A | B | C | результат |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Для первой строки последней таблицы имеем.
| , | (22) |
для второй строки —
| , | (23) |
для третьей строки —
| , | (24) |
(24) для четвертой строки —
| , | (25) |
(25) и для пятой строки —
| . | (26) |
Соединяем выражения (22)-(26) логическим сложением. Будем иметь
| . | (27) |
Теперь требуется упростить (27) на основе логических законов. .
| Таким образом, получили: . | (28) |
Построим функциональную схему. Для этого потребуется отрицание A с последующим умножением на B, затем на C и, наконец, сложение с A. Полученная функциональная схема представлена на рисунке 18.
Какая структурных формул соответствует логической схеме
Знания из области математической логики можно использовать для конструирования электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых «ложь» и «истина». Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток.
Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если «отсутствует» электрический сигнал, и 1, если «имеется» электрический сигнал.
Базовые логические элементы реализуют три основные логические операции: «И», «ИЛИ», «НЕ».
Логический элемент «НЕ» (инвертор)
Простейшим логическим элементом является инвертор, выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот.
У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается:
Говорят также, что элемент «НЕ» инвертирует значение входной двоичной переменной.
Проверь соответствие логического элемента «НЕ» логическому элементу «НЕ». Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx
Логический элемент «И» (конъюнктор)
Логический элемент «И» (конъюнктор) выдает на выходе значение логического произведения входных сигналов.
Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:
Сигнал на выходе конъюнктора появляется тогда и только тогда, когда поданы сигналы на все входы. На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей. Известным примером последовательного соединения проводников является елочная гирлянда: она горит, когда все лампочки исправны. Если же хотя бы одна из лампочек перегорела, то гирлянда не работает.
Проверь соответствие логического элемента «И» логическому элементу «И». Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx
Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор)
Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) выдает на выходе значение логической суммы входных сигналов. Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:
Сигнал на выходе дизъюнктора не появляется тогда и только тогда, когда на все входы не поданы сигналы.
На элементарном уровне дизъюнкцию можно представить себе в виде параллельно соединенных выключателей.
Примером параллельного соединения проводников является многорожковая люстра: она не работает только в том случае, если перегорели все лампочки сразу.
Проверь соответствие логического элемента «ИЛИ» логическому элементу «ИЛИ». Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx
Пример 1.
Составьте логическую схему для логического выражения: F=A \/ B /\ A.
2. Две логические операции: 1-/\, 2-\/.
Пример 2.
Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F=А/\В\/ ¬(В\/А). Вычислить значения выражения для А=1,В=0.
1. Переменных две: А и В; 1 4 3 2
2. Логических операций три: /\ и две \/; А/\В\/ ¬ (В\/ А).
3. Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:
4. Вычислим значение выражения: F=1 /\ 0 \/ ¬(0 \/ 1)=0
Логические схемы и таблицы истинности
Логические схемы создаются для реализации в цифровых устройствах булевых функций (функций алгебры логики).
В цифровой схемотехнике цифровой сигнал — это сигнал, который может принимать два значения, рассматриваемые как логическая «1» и логический «0».
Логические схемы могут содержать до 100 миллионов входов и такие гигантские схемы существуют. Представьте себе, что булева функция (уравнение) такой схемы была потеряна. Как восстановить её с наименьшими потерями времени и без ошибок? Наиболее продуктивный способ — разбить схему на ярусы. При таком способе записывается выходная функция каждого элемента в предыдущем ярусе и подставляется на соответствующий вход на следующем ярусе. Этот способ анализа логических схем со всеми нюансами мы сегодня и рассмотрим.
Логические схемы реализуются на логических элементах: «НЕ», «И», «ИЛИ», «И-НЕ», «ИЛИ-НЕ», «Исключающее ИЛИ» и «Эквивалентность». Первые три логических элемента позволяют реализовать любую, сколь угодно сложную логическую функцию в булевом базисе. Мы будем решать задачи на логические схемы, реализованные именно в булевом базисе.
Для обозначения логических элементов используется несколько стандартов. Наиболее распространёнными являются американский (ANSI), европейский (DIN), международный (IEC) и российский (ГОСТ). На рисунке ниже приведены обозначения логических элементов в этих стандартах (для увеличения можно нажать на рисунок левой кнопкой мыши).
На этом уроке будем решать задачи на логические схемы, на которых логические элементы обозначены в стандарте ГОСТ.
Задачи на логические схемы бывают двух видов: задача синтеза логических схемы и задачи анализа логических схем. Мы начнём с задачи второго типа, так как в таком порядке удаётся быстрее научиться читать логические схемы.
Чаще всего в связи с построением логических схем рассматриваются функции алгебры логики:
- трёх переменных (будут рассмотрены в задачах анализа и в одной задаче синтеза);
- четырёх переменных (в задачах синтеза, то есть в двух последних параграфах).
Рассмотрим построение (синтез) логических схем
- в булевом базисе «И», «ИЛИ», «НЕ» (в предпоследнем параграфе);
- в также распространённых базисах «И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ» (в последнем параграфе).
На основе логических выражений и функций строятся логические схемы. Бывает, что изначально составленная функция является излишне сложной, из-за чего её схемная или программная реализация оказывается избыточной. Способам и приёмам минимизации логических функций посвящены отдельные материалы сайта — минимизация логических функций: общие сведения и минимизация логических функций: метод непосредственных преобразований.
Задача анализа логических схем
Задача анализа заключается в определении функции f , реализуемой заданной логической схемой. При решении такой задачи удобно придерживаться следующей последовательности действий.
- Логическая схема разбивается на ярусы. Ярусам присваиваются последовательные номера.
- Выводы каждого логического элемента обозначаются названием искомой функции, снабжённым цифровым индексом, где первая цифра — номер яруса, а остальные цифры — порядковый номер элемента в ярусе.
- Для каждого элемента записывается аналитическое выражение, связывающее его выходную функцию с входными переменными. Выражение определяется логической функцией, реализуемой данным логическим элементом.
- Производится подстановка одних выходных функций через другие, пока не получится булева функция, выраженная через входные переменные.
Пример 1. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы, что уже показано на рисунке. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x, y, z :
В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:
Таблица истинности для данной логической схемы:
| x | y | z | f | ||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Найти булеву функцию логической схемы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Пример 3. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Продолжаем искать булеву функцию логической схемы вместе
Пример 4. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x, y, z :
В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:
Таблица истинности для данной логической схемы:
| x | y | z | f | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Пример 5. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Структура данной логической схемы, в отличие от предыдущих примеров, имеет 5 ярусов, а не 4. Но одна входная переменная — самая нижняя — пробегает все ярусы и напрямую входит в логический элемент в первом ярусе. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x, y, z :
В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:
Таблица истинности для данной логической схемы:
| x | y | z | f | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Задача синтеза логических схем в булевом базисе
Разработка логической схемы по её аналитическому описанию имеет название задачи синтеза логической схемы.
Каждой дизъюнкции (логической сумме) соответствует элемент «ИЛИ», число входов которого определяется количеством переменных в дизъюнкции. Каждой конъюнкции (логическому произведению) соответствует элемент «И», число входов которого определяется количеством переменных в конъюнкции. Каждому отрицанию (инверсии) соответствует элемент «НЕ».
Часто разработка логической схемы начинается с определения логической функции, которую должна реализовать логическая схемы. В этом случае дана только таблица истинности логической схемы. Мы разберём именно такой пример, то есть, решим задачу, полностью обратную рассмотренной выше задаче анализа логических схем.
Пример 6. Построить логическую схему, реализующую функцию с данной таблицей истинности:
| x | y | f |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Решение. Разбираем таблицу истинности для логической схемы. Определяем функцию, которая получится на выходе схемы и промежуточные функции, которые на входе принимают аргументы x и y . В первой строке результатом реализации выходной функции при том, что значения входных переменных равны единицам, должен быть логический «0», во второй строке — при разных значениях входных переменных на выходе тоже должен быть логический «0». Поэтому нужно, чтобы выходная функция была конъюнкцией (логическим произведением).
Теперь подбираем промежуточные функции. Получаем следующую таблицу для промежуточных функций и выходной функции — конъюнкции промежуточных функций:
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Для построения логической схемы необходимо элементы, реализующие логические операции, указанные в выходной функции, располагать в порядке, заданной этой функцией. Из выражения видно, что понадобятся 3 схемы «НЕ», две двухвходовых схемы «И» и одна двухвходовая схема «ИЛИ». В соответствии с выходной функцией получаем следующую логическую схему:
А теперь очередь дошла до функций алгебры логики четырёх переменных. Сначала выполним синтез логической схемы в булевом базисе.
Пример 7. Построить в булевом базисе логическую схему, реализующую функцию алгебры логики
Решение. Для построения логической схемы потребуются 4 схемы «НЕ», одна трёхвходовая схема «И», 2 двухвходовые схемы «И» и одна трёхвходовая схема «ИЛИ». В соответствии с этим получаем следующую логическую схему:
Задача синтеза логических схем в базисах «И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ»
Часто для сокращения числа микросхем используют элементы «И-НЕ» или/и «ИЛИ-НЕ». Рассмтрим примеры, как построить схему, реализующую ту же функцию, что в предыдущем примере, но, сначала в базисе «И-НЕ», а затем в базисе «ИЛИ-НЕ».
Пример 8. Построить в базисе «И-НЕ» логическую схему, реализующую функцию алгебры логики .
Решение. Логическая функция должна быть приведена к виду, содержащему только операции логического умножения (конъюнкции) и инвертирования (отрицания). Это делается при помощи двойного инвертирования исходного выражения функции и применения закона де Моргана:
Для построения логической схемы потребуются 8 схем «И-НЕ». Получаем следующую логическую схему:
Пример 9. Построить в базисе «ИЛИ-НЕ» логическую схему, реализующую функцию алгебры логики .
Способы записи функций алгебры логики. Примеры анализа и синтеза логических схем. Логические схемы и функции
Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про синтез логических схем, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое синтез логических схем, анализ логических схем , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Электроника, Микроэлектроника , Элементная база.
Содержание
- Способы записи функций алгебры логики
- анализ логических схем
- синтез логических схем
- Синтез логического устройства
- Переход от логической схемы к логической функции
- Методы минимизации логических функций.
Способы записи функций алгебры логики
Рассмотрим некоторое логическое устройство, на входе которого присутствует некоторый n–разрядный двоичный код xn−1, . . . , x1, x0, на выходе соответственно m–разрядный двоичный код zm−1, . . . , z1, z0, (рис. 2.1).
Для того, чтобы описать поведение этой схемы, необходимо определить зависимость каждой из m выходных переменных zi от входного двоичного кода xn−1, . . . , x1, x0.
Рис. 2.1. Обобщенная схема логического устройства
Зависимость выходных переменных zi , выраженная через совокупность входных переменных xn−1, . . . , x1, x0 с помощью операций алгебры–логики, носит название функции алгебры логики (ФАЛ). Иногда данную зависимость также называют переключательной функцией. Задать ФАЛ — это значит определить значения zi для всех возможных комбинаций переменных xn−1, . . . , x1, x0. Очевидно, что для n-разрядного двоичного кода xn−1, . . . , x1, x0 существует 2n различных значений zixn−1, . . . , x1, x0. Функция называется полностью определенной, если заданы 2 n ее значений. Если часть значений функции не задана, то она называется частично определенной или недоопределенной. Иногда известно, что по условиям работы устройства появление некоторых входных кодов невозможно, и поэтому значения ФАЛ на этих кодах не задаются. При этом возникают так называемые факультативные или необязательные значения функции, которые могут задаваться произвольными значениями. Входные коды, для которых ФАЛ имеет факультативные значения, называются запрещенными. Устройства, поведение которых описывается при помощи ФАЛ, называют логическими.
Для описания ФАЛ могут быть использованы различные способы.
Основными из них являются:
- описание функции в словесной форме,
- в виде таблиц истинности,
- алгебраических выражений,
- последовательностей десятичных чисел и т. д.
1 Словесное описание ФАЛ
Данный вид описания наиболее часто применяется для первоначального, исходного описания поведения логического устройства. Проиллюстрируем словесное описание ФАЛ на примере.
Пример 2.1 Логическая функция трех переменных равна единице, если хотя бы две входные переменные равны единице.
2 Описание ФАЛ в виде таблицы истинности
Таблица, содержащая все возможные комбинации входных переменных xn−1, . . . , x1, x0 и соответствующие им значения выходных переменных zi
, называется таблицей истинности, или комбинационной таблицей. В общем случае таблица истинности содержит 2n строк и m + n столбцов. Проиллюстрируем построение таблицы истинности на примере.
Пример 2.2 Составить таблицу истинности для ФАЛ из примера 2.1.
Решение. Количество входных переменных n = 3, т. о. строк будет — 2 3 = 8. Количество выходных переменных m = 1, т. е. количество столбцов — m + n = 1 + 3 = 4. Составим таблицу истинности (см. таблицу 2.4).
Таблица 2.4. Таблица истинности для ФАЛ трех переменных
3 Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения
При описании ФАЛ алгебраическим выражением используются две стандартные формы ее представления.
1. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ). ДНФ называется логическая сумма элементарных логических произведений, в каждое из которых аргумент или его
инверсия входят один раз. Получена ДНФ может быть из таблицы истинности с использованием следующего алгоритма:
- для каждого набора переменных, на котором ФАЛ равна единице, записываются элементарные логические произведения входных переменных, причем переменные, равные нулю, записываются с инверсией. Полученные произведения называют конституентами единицы, или минтермами (m);
- логически суммируются все конституенты единицы (минтермы).
Пример 2.3 Записать ДНФ для ФАЛ, заданной в примере 2.2.
Решение. Составим таблицу конституент единицы (минтермов) для ФАЛ, заданной в примере 2.2.
Согласно приведенному выше алгоритму, используя минтермы из таблицы 2.5 и
основные аксиомы (тождества) алгебры-логики (табл. 2.2), получим:
Дизъюнктивную нормальную форму, полученную суммированием конституент единицы (минтермов), называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой
(СДНФ).
Таблица 2.5. Минтермы ФАЛ z(x2, x1, x0) 
2. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ). КНФ называется логическое произведение элементарных логических сумм, в каждую из которых аргумент или его
инверсия входят один раз. Получена КНФ может быть из таблицы истинности с использованием следующего алгоритма:
- для каждого набора переменных, на котором ФАЛ равна нулю, записывают элементарные логические суммы входных переменных, причем переменные, значения которых равны единице, записывают с инверсией. Полученные суммы называют конституентой нуля, или макстермами;
- логически перемножают все конституенты нуля (макстермы).
Пример 2.4 Записать KНФ для ФАЛ, заданной в примере 2.2.
Решение. Составим таблицу конституент нуля (макстермов) для ФАЛ, заданной в примере 2.2.
Таблица 2.6. Макстермы ФАЛ z(x2, x1, x0)
Согласно приведенному выше алгоритму, используя макстермы из таблицы 2.6 и основные аксиомы (тождества) алгебры-логики (табл. 2.2), получим:
Конъюнктивную нормальную форму, полученную суммированием конституент нуля (макстермов), также называют совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).
Рассмотренные методики позволяют получить математическую форму записи для самой функции. Иногда удобнее применять не саму ФАЛ, а ее инверсию. В этом случае при использовании вышеописанных методик для записи СДНФ необходимо выбирать
нулевые, а для записи СКНФ — единичные значения функции.
Пример 2.5 Для ФАЛ из примера 2.2 записать СДНФ и СКНФ инверсной функцией.
Решение. Воспользовавшись таблицей 2.4, запишем 
4 Описание ФАЛ в виде последовательности десятичных чисел
Иногда для сокращения записи ФАЛ представляют в виде последовательности десятичных чисел. При этом последовательно записывают десятичные эквиваленты двоичных кодов соответствующих конституент единицы и нуля (минтермов и макстермов).
Пример 2.6 Записать в виде последовательности десятичных чисел ФАЛ из примеров 2.3 и 2.4
Решение. В СДНФ из примера 2.3 первая конституента единицы (минтерм — x2x1x0) соответствует двоичному коду 011 (табл. 2.5). Десятичный эквивалент этого кода равен 3. Аналогично записываются все остальные конституенты:
В СКНФ из примера 2.4 первая конституента нуля (макстерм — x2 + x1 + x0) соответствует двоичному коду 000 (табл. 2.6).
Десятичный эквивалент этого кода равен 0.
Аналогично записывают все остальные конституенты:
5 Кубические комплексы
В последнее время широкое распространение получило так называемое кубическое представление ФАЛ. Такое представление использует ограниченное число символов и поэтому применяется при автоматизации процессов логического проектирования цифровых интегральных схем (ИС).
Основой кубической формы является представление каждого набора входных переменных в качестве n–мерного вектора. Вершины этих векторов геометрически могут быть представлены как вершины n-мерного куба. Отмечая точками вершины векторов, для которых ФАЛ равна единице, получаем геометрическое представление функции куба.
Пример 2.7 Задана 
. Дать геометрическое представление в виде куба.
Решение. Графическое решение задачи проиллюстрировано на рисунке 2.2.
Очевидно, что наборы переменных, расположенные на концах ребер куба, отличаются только одной переменной. Такие наборы (коды) принято называть соседними.
Каждую функцию куба, в которой функция принимает единичное значение, называют нулевым кубом (0–кубом). Записывается 0–куб последовательностью образовавших его входных переменных, т.е. кодом, соответствующим конституенте единицы.
Множество нулевых кубов образуют нулевой кубический комплекс K0 ФАЛ.
Если два нулевых куба комплекса K0 отличаются только по одной координате (переменной), т.е. два набора переменных, для которых ФАЛ равна единице, являются
соседними, то они образуют единичный куб (1–куб). Геометрически это соответствует ребру исходного n–мерного куба (рис 2.3), 1–куб записывается последовательностью общих элементов образовавших его 0–кубов с прочерком несовпадающих элементов.
Множество единичных кубов образует единичный кубический комплекс K1.
Аналогично, если два единичных куба комплекса K1 отличаются только по одной координате (переменной), то эти единичные кубы образуют двоичный куб (2-куб).
Геометрически это соответствует грани исходного n-мерного куба (рис. 2.4). 2-куб также записывается последовательностью общих элементов образовавших его 1-кубов с прочерком несовпадающих элементов, а множество двоичных кубов образуют двоичный кубический комплекс K2. И так далее.
Пример 2.8 Для ФАЛ из примера 2.7 записать кубические комплексы.
Решение. Нулевой кубический комплекс содержит пять членов по числу конституент единицы ФАЛ. K0 = (011, 100, 101, 110, 111).
Сравнивая записанные 0-кубы, можно увидеть, что 1–й и 5–й кубы отличаются только первым членом . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Поэтому они образуют 1–куб вида ˘11. Аналогично, 2-ой и 3-й
0–кубы образуют 1–куб вида 10− и т.д. Единичный кубический комплекс заданной
ФАЛ будет иметь вид: K1 = (−11, 10−, 11−, 1 − 1).
Аналогично может быть получен и двоичный кубический комплекс, состоящий из
одного 2–куба: K2 = (1 − −).
Из сказанного следует, что размерность куба (его ранг) определяется числом несовпадающих координат, т. е. числом прочерков в его записи.
Объединение кубических комплексов K0, K1, . . . , Km для ФАЛ n-переменных образует ее кубический комплекс 
Анализ логических схем
Анализом логических схем называется составление по логической схеме таблицы истинности.
Таблица истинности сложного элемента может быть составлена по таблицам истинности отдельных простейших элементов.
Пример анализа логического устройства 
Составляем таблицу истинности 
Синтез логических схем
Синтез логических схем – составление логических схем по заданной таблицы истинности.
Правила синтеза
1. По выходной величине Q определяются количество «0» и «1», если «0»<«1», то синтез осуществляется по строкам, где Q=0 (если «1»<«0», то, где Q=1)
2. Каждая строка реализуется одним элементом «И» с соответствующими элементами «НЕ» на входах.
3. Устройство «ИЛИ», если синтезируем по «1» «ИЛИ-НЕ», если синтезируем по «0» осуществляет преобразование сигналов в выходную величину Q.
Минимизация с помощью карт Карно или с помощью совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ)
• Составляется структурная формула
• Составляется карта Карно для двух, трех, четырех и т.д. переменных
для двух переменных 
для трех переменных 
Набор правил Булевой алгебры 
Теоремы Де Моргана
Дополнение суммы равно произведению дополнений переменных
Дополнение произведения равно сумме дополнений переменных
Пример
Дано: синтезировать функцию представленную структурной формулой
Запишем уравнение в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ)
Различают комбинационные и последовательностные логические устройства.
Комбинационные логические устройства — это устройства, у которых значения выходных сигналов зависят только от комбинации входных сигналов в данный момент времени.
Последовательностные логические устройства — это устройства, выходные сигналы которых зависят от значений входных сигналов не только в данный момент времени, но и в предыдущие моменты времени. В состав этих устройств обязательно входят элементы памяти — триггеры. Различают несколько видов триггеров в зависимости от того, какую элементарную функцию памяти они реализуют.
При разработке логического устройства сначала формулируют словесное описание его алгоритма действия. Затем составляют удовлетворяющую этому описанию логическую функцию (абстрактный синтез) и далее разрабатывают структурную логическую схему устройства (структурный синтез).
В процессе абстрактного синтеза осуществляется переход от словесного описания ТП (его нормальный ход и аварийные ситуации) к составлению алгоритма функционирования в виде таблицы, циклограммы, графика и т.п. Циклограмма представляет собой ряд горизонтальных строк, равных числу входов и выходов логического устройства. Для составления логического алгоритма управления технологическим оборудованием необходимо иметь полную информацию о ТП каждой технологической операции и применяемом оборудовании. На этой стадии уточняют последовательность операций и необходимые временные задержки для всех режимов работы объекта управления, определяют параметры, подлежащие контролю и учету в ходе процесса; формулируют требования управляемого объекта к логическому устройству. Эти требования представляют в виде значений двоичных сигналов, которые должны быть поданы на исполнительные устройства системы управления в зависимости от состояния управляемого объекта.
В процессе структурного синтеза происходит переход от логической функции, описывающей алгоритм функционирования, к структурной схеме логического устройства.
Однако прежде чем приступить к разработке схемы, необходимо попытаться преобразовать исходную логическую функцию к максимально простому виду. На основе структурной схемы логического устройства разрабатывают его принципиальную схему с использованием конкретной элементной базы, например в базисе ИЛИ-HE или И-НЕ. Завершающий этап создания схемы логического устройства — разработка и согласование узлов связи устройства с оператором и управляемым объектом, защита от помех и т.п.
Исторически первыми устройствами, для описания действий которых использовали логические функции, были устройства, выполненные на релейно-контактных элементах. Для проектирования таких устройств была разработана теория релейно-контактных схем (ТРКС). Затем появились бесконтактные устройства, предназначенные только для логических преобразований сигналов и представляющие собой конструктивно оформленные изделия.
Устройства автоматики, действие которых описывается элементарными логическими функциями, обычно называют в соответствии с реализуемой ими логической операцией элементами НЕ, И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-HE (см. табл. 4.1).
Имея необходимые элементы, по логической функции можно синтезировать логическое устройство любой сложности. Однако построенная схема может оказаться неоправданно сложной, требующей использования большого числа логических элементов, что может повлиять на стоимость и надежность устройства. Во многих случаях удается так упростить логическую функцию, что соответствующая ей схема устройства оказывается существенно более простой и выполняющей поставленную задачу.
Синтез логического устройства
Для построения логической схемы необходимо логические элементы (ЛЭ), предназначенные для выполнения логических операций, указанных в ФАЛ, располагать от входа в порядке, определенном булевым выражением.
Пример 1
Построить структурную схему логического устройства по ФАЛ из примера 2.1, т. е. определенную ФАЛ вида:
Для реализации заданной ФАЛ в виде структурной логической схемы нам понадобятся три ЛЭ, реализующих операцию НЕ, т. к. исходная ФАЛ формируется тремя переменными (x2, x1, x0), которые входят в нее как в прямом, так и в инверсном виде. Операция дизъюнкции должна быть выполнена четыре раза над тремя переменными, таким образом, для ее реализации нам понадобятся четыре ЛЭ, реализующих 29 операцию 3И. Последней выполняется операция конъюнкции над четырьмя выражениями, для реализации которой потребуется ЛЭ, реализующий операцию 4ИЛИ. Пример структурной логической схемы, реализующей заданную ФАЛ, приведен на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Структурная схема логического устройства, реализующая ФАЛ вида
Переход от логической схемы к логической функции
Можно решить обратную задачу, т. е. по схеме логического устройсва перейти к логической функции. Обратная задача решается в несколько этапов:
заданная схема разбивается по ярусам;
- начиная с последнего, выходы каждого элемента обозначаются проиндексированными функциями в зависимости от яруса, к которому относится элемент;
- записываются выходные функции каждого элемента в виде формул в соответствии с выбранными обозначениями логических операций;
- производится подстановка одних выходных функций через другие, используя входные переменные;
- записывается получившаяся булева функция через входные переменные;
Пример 3.2 По заданной логической схеме (рис. 3.2) составить булеву функцию.
Рис. 3.2. Пример логической схемы устройства
Решение. Согласно приведенному выше алгоритму разобьем схему на ярусы, пронумеруем получившиеся ярусы, произведем индексирование выходных функций для каждого элемента (рис. 3.2). Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
1-й ярус : 
2-ой ярус : 
3-й ярус : 
Запишем все функции, подставляя входные переменные x1, x2, x3 и x4:
Методы минимизации логических функций.
Методы упрощения комбинационных устройств называют методами минимизации логических функций. Метод минимизации основан на применении законов алгебры логики, или булевой алгебры, которые приведены ниже для минимального числа переменных. Эквивалентность левой и правой части уравнений обозначена знаком равенства. Одновременно изображены релейные эквиваленты рассматриваемых законов алгебры логики.
Переместительный закон. Для логической суммы и произведения порядок расположения переменных безразличен:
Сочетательный закон. Результат последовательного сложения переменных или умножения их не зависит от порядка этих действий:
Закон поглощения. Сложение переменной с этой же переменной, умноженной на другую переменную, или умножение переменной на сумму этой же переменной и другой переменной равно первой переменной:
Распределительный закон. Общий множитель можно выносить за скобки, как в обычной алгебре:
Закон склеивания. Сумма произведений первой и второй переменных и второй переменной и инверсии первой переменной равна второй переменной. Произведение суммы двух переменных и суммы инверсии первой переменной со второй переменной равно второй переменной:
Закон инверсии (закон Моргана — Шеннона). Отрицание логического сложения равносильно произведению отрицаний слагаемых, и, наоборот, отрицание логического умножения равносильно сумме отрицаний сомножителей:
Инверсия произвольной комбинации двоичных переменных, соединенных знаком «плюс» или «умножение», эквивалентна замене в ней значений перемен-
ных их инверсиями при одновременном изменении знака «плюс» на знак «умножение» и наоборот. Например, xtx2+x3x4 =(xlx2)(x3x4) = (xl +х2)(х3+х4). Закон инверсии встречается только в алгебре логики.
Таким образом, закон инверсии позволяет заменить операцию ИЛИ операцией И, а при необходимости — наоборот. Это особенно важно, поскольку при широком использовании интегральных логических элементов в построении логических устройств наиболее часто используют элементы базисов И-НЕ, ИЛИ-НЕ.
Преобразования логических функций, выполняемые с применением распределительного закона, являются основным методом упрощений, так как вынесение общего множителя за скобки сокращает общее число переменных выражения, следовательно, позволяет сократить число элементов в схемах логических устройств.
Выполняя минимизацию, пользуются также следствиями законов алгебры логики, основные из которых следующие:
Последнее тождество для минимизации получено путем двойной инверсии упрощаемого выражения. Первая инверсия дает
Вторая инверсия дает
Для перехода из базиса И, ИЛИ, НЕ в базис ИЛИ-HE, а также в базис И-НЕ также выполняется преобразование логической формулы с использованием двойного отрицания. Рассмотрим пример перехода для релейной схемы на рис. 4.5, а, реализованной в базисе И, ИЛИ, НЕ (рис. 4.5, б), в базис ИЛИ-HE (рис. 4.5, в): 
и в базис И-НЕ (рис. 4.5, г):
Количество черточек сверху формул равно количеству элементов отрицания, т.е. элементов ИЛИ-HE и И-НЕ. В первой формуле шесть отрицаний, и соответственно схема на рис. 4.5, в содержит шесть элементов ИЛИ-HE. Во второй формуле пять отрицаний, и соответственно схема на рис. 4.5, г содержит пять элементов И-НЕ.
Рис. 45. Реализация структурной формулы логического элемента:
а — на релейных элементах; б — на элементах ИЛИ, И, НЕ; в — на элементах
ИЛИ-HE; г-на элементах И-НЕ
Упростите выражение/ = (х + у)(х + z) и начертите релейный эквивалент до упрощения и после него. Здесь/ — выходной сигнал (состояние замыкающего контакта) релейного элемента F.
До упрощения релейный эквивалент в соответствии с заданным выражением выглядит следующим образом:
Упростим заданное выражение в соответствии с законами алгебры логики:
Учитывая, что 1 + у + z = 1, окончательно запишем /= х + у • z. После упрощения релейный эквивалент выглядит следующим образом:
Упростите выражение f = х-у + х y-z +y-z и начертите релейный эквивалент до упрощения и после него.
До упрощения релейный эквивалент в соответствии с заданным выражением выглядит следующим образом:
Упростим заданное выражение в соответствии с законами алгебры логики, вынося общий множитель за скобки:
Релейно-контактная схема этого выражения примет вид
Далее преобразуем полученное выражение:
Здесь учтено, что x-z =x + z иа + а = 1, или x+z+x+z = 1, где a = x + z; а = x+z. Поэтому после преобразования упрощенное выражение примет вид
После упрощения выражения релейный эквивалент выглядит так:
Проверим правильность преобразования с помощью таблицы состояния (табл. 4.2), в которой показаны все возможные комбинации двух переменных х и 2, и убедимся, что выражение х + г + х-г всегда равно единице.