Как работать с номограммой

Порядок работы с номограммой

В соответствии с методикой экспертно или по обоюдному согласию заказчика и разработчика определяются группа и подгруппа конструктивной сложности изделия.

На оси абсцисс квадранта I находятся требуемые группа и подгруппа сложности инновации (точка Bj). Через точку Bi параллельно оси ординат в квадрантах I и IV проводится прямая.

Из точки В₂ пересечения этой прямой с соответствующей кривой новизны разработки в квадранте I проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения (точка В₂) с лучом вида работ в квадранте II.

Проекция точки В₃ на ось Т₂ (точка В₄) позволит определить необходимые трудозатраты на проведение любого вида работ.

Прямая, проведенная через точку В] соответствующей группы (подгруппы) сложности инновации параллельно оси ординат в квадранте IV до пересечения с соответствующей кривой новизны инновации, однозначно определит точку В5.

Если необходимо определить срок проведения научно- исследовательских, поисковых и других работ, то точку В₅ проектируют на ось t (точка В₆) в квадранте IVА. Из точки на оси t проводят прямую параллельно оси t| до пересечения (точка В₇) с лучом соответствующего вида работ. Точка пересечения проектируется на ось ti (точка ВюЛ Полученное значение — срок проведения требуемого вида работ.

Располагая точкой трудоемкости на оси Т2 и сроками проведения НИР, ОКР, поиска и ПП на оси Г, можно определить количество конструкторов и их годовую заработную плату путем проведения перпендикуляров из точек В₄ и В₅ к осям Т₂ и t до их взаимного пересечения в квадранте III (точка В₈).

Если точка пересечения перпендикуляров совпадает с лучом, то на пересечении его с осью Г определяется величина годовой основной заработной платы конструкторов (точка В₉).

Если точка пересечения перпендикуляров не совпадает с лучом, то на оси Г в месте пересечения с лучом, проведенным через начало координат и найденную точку В₈, находят значение прямой заработной платы конструкторов, определяемое методом интерполяции.

Для определения оплаты труда разработчиков при проведении НИР, ОКР и других комплексных работ необходимо суммировать результаты, полученные на оси F для каждого вида работ. Для определения основного фонда оплаты труда разработчиков на весь период разработки инновации годовую основную заработную плату F умножают на срок разработки I

В результате статистической обработки материалов опроса и анализа фактической сметной стоимости в квадранте IIIA получена зависимость годовой стоимости разработки от основной заработной платы конструкторов. Для определения годовой стоимости работы из точки В₉ опускается перпендикуляр к оси Г до пересечения с лучом установленной ранее группы конструктивной сложности (точка Вц) в квадранте ША. Проведя через точку В_п прямую, параллельную оси Г, определим на оси С₂ годовую стоимость работ (точка В₁₂) и, продлив эту прямую до пересечения с лучом длительности работ (квадрант ШБ), получим точку Вц , проекция которой на ось С„ (точка В₎₄) определяет полную стоимость вида работ. Масштаб на оси Сг выбирается с учетом коэффициента удорожания по сравнению с базовым годом.

Стоимость С_т работ по подготовке производства (в тыс. руб. с учетом коэффициента удорожания К_у всех видов работ по сравнению с базовым годом) рассчитывается при наличии данных о количестве оригинальных деталей п в новой конструкции и программы годового выпуска N по эмпирическим зависимостям групп конструктивной сложности:

Оригинальная деталь — деталь, по которой проводится технологическая подготовка производства.

Стоимость комплекса работ по созданию новой техники, включающего в себя подготовку производства, определяется как сумма стоимости каждого вида работ, входящих в этот комплекс.

Номограмма позволяет определить стоимость проектирования одного варианта конструкции. При одновременном выполнении работ по нескольким вариантам структурного и компоновочного решений в одной конструкторской организации, что должно быть оговорено в контракте, стоимость разработки последующих вариантов принимается с понижающим коэффициентом: по второму варианту — 0,7, по третьему — 0,6, по четвертому и последующим вариантам — 0,5.

При разработке одной конструкции несколькими организациями с последующим конкурсом технических решений сметная стоимость работ для каждой организации может определяться в соответствии с предложенной методикой, как для создания новой разработки.

Общая стоимость работ, направленных на создание новой техники, разработка которой проводится совместно с другими странами, не должна превышать стоимости, определенной по настоящим нормативам в зависимости от новизны и конструктивной сложности изделия.

При разработке конструкции совместно с организациями- соисполнителями, включая зарубежные фирмы, на стадии формирования контракта определяется долевое участие каждой стороны на весь период создания оборудования и по этапам. В контракте должны четко оговариваться сроки и стоимость работ в соответствии с долевым участием соисполнителей.

Общий срок проведения работ по созданию инновации определяется как сумма времени проведения всех видов работ с учетом сезонности проведения функциональных испытаний.

Срок проведения ОКР в зависимости от категории новизны и конструктивной сложности изделия определяется по номограмме в квадранте IV на оси t (точка В₆).

Срок проведения поисковых и прикладных НИР определяется для заданных категорий сложности и новизны изделия по номограмме в квадрантах IV и IVА (точки В₇ и В_]0).

На основе анализа большого количества данных по фактическим затратам времени на проведение поисковых и прикладных НИР, а также расчетного времени на разработку конструкций инноваций с использованием предложенной методики могут быть определены укрупненные сроки продолжительности основных этапов каждого вида работ в зависимости от их конструктивной сложности.

Расчет годовой сметной стоимости каждого вида работ в зависимости от категории новизны и конструктивной сложности определяется в квадранте ША номограммы на весь период путем умножения полученного значения годовой стоимости на общий срок проведения всего комплекса работ.

Старинное искусство номографии

Впервые увидел этот странный график в лаборатории университета. Невзрачный листок, ксерокопированный из старой книги, был наклеен на стену рядом с роторным испарителем. Листок, очевидно, использовали часто, но берегли, словно в нём содержалось какое-то древнее могучее заклинание… Впоследствии, схожего рода графики попадались мне и в других лабораториях, словно составляли неотъемлемую часть перегонки с вакуумом. Затем похожие рисунки встречались на страницах разной технической литературы. Их называли номограммы. Научиться ими пользоваться оказалось до смешного просто, но кто и как их в своё время сделал — оставалось загадкой.

Как выглядят номограммы и как они работают

Номограмма, что часто используется при перегонке с вакуумом приведена на рисунке ниже.

Допустим, вы провели реакцию в растворителе, а теперь собираетесь его удалить (выпарить), чтобы собрать продукт реакции. Растворитель улетучивается изнурительно медленно, а чтобы ускорить процесс, вы решаете его нагреть, но вот беда — греть раствор нежелательно, так как продукт реакции от нагревания может испортиться. Создав пониженное давление, вы уменьшите температуру кипения растворителя и сумеете его отделить не причинив вреда растворенному в нем веществу. При нормальном атмосферном давлении 760 мм ртутного столба вода кипит при 100 С, однако, при давлении 40 мм кипит уже при 34 С.

А как быть с гамма-бутиролактоном, который кипит при 204 С? Отмечаем на оси «Температура кипения при 760 мм» точку 204 С, выставляем на кривой оси «Остаточное давление» 5 мм, проводим прямую до пересечения с третьей осью. Ага, значит, в этих условиях наш растворитель начнет выкипать примерно при 70 С.

Это был пример достаточно простой номограммы. Ниже я привожу более сложную. Достоинство номограмм в том, что в них умещаются довольно сложные функциональные зависимости с несколькими переменными. В самом деле, сколько бы понадобилось обычных графиков вида для такой задачи?

Второй момент — эмпирические формулы бывают сложны для запоминания и неудобны. Вдруг неохота доставать смартфон, искать соответствующую программу, или же вообще тащить с собой компьютер. А так — вот в заводском помещении висит психрометр для замера влажности воздуха, вот номограмма — по ней легко прикинуть влажность.

Разбираемся и делаем свои номограммы

Основания общей теории номографических построений дал Морис Окань (1884—1891) — в его же работах впервые появился термин «номограмма». Книга Traité de nomographie. Théorie des abaques. Applications pratiques доступна онлайн. Это истоки. Более краткое современное изложение принципов номографии, по которому я учился делать номограммы читайте здесь — The Lost Art of Nomography by Ron Doerfler.

Чтобы сделать номограмму определения температуры кипения при разных давлениях нам понадобится правило Трутона: молярная энтропия испарения разных веществ при нормальной температуре кипения является постоянной величиной. Затем, уравнение Клапейрона — Клаузиуса:

где — энтальпия испарения, — газовая постоянная.

Интегрируя последнее уравнение мы получаем:

где под мы обозначим давление 760 мм ртутного столба, а — температуру кипения при этом давлении. Нас интересует температура кипения при пониженном давлении .

Правило Трутона запишем так:

Подставив последнее выражение, получим расчётную формулу:

Её и следует привести в номограмму.

Построение номограмм с pynomo

Следующий шаг — устанавливаем питон-библиотеку pynomo. Тривиально:

Библиотека умеет строить различные номограммы из десяти стандартных блоков.

Нам понадобится стандартный блок номер 2 кодирующий зависимости вида:

где — какая-то одномерная функциональная зависимость. Разберём простой пример.

Пусть у нас есть лабораторная центрифуга, для которой мы хотим привести номограмму соответствия числа оборотов ротора в минуту (RPM) с достигаемым центробежным ускорением. Формула следующая:

Функция записывается строкой:

Программа построит номограмму в файл RPM.pdf, ниже на рисунке.

Пунктирная линия называется изоплета — она показывает, как пользоваться номограммой для расчёта достигаемого ускорения (в единицах g) при данной геометрии ротора (радиус вращения) и числа оборотов в минуту (RPM).

Почему этот график так работает? Смотрите чертеж.

Из него видно, что треугольники ABC и CDE — подобны. Следовательно:

где L — длина BD, она задана. Пользуясь этим соотношением, можно построить шкалу на L.

Зная этот принцип, мы можем построить номограмму для соотношения

что даст нам номограмму для роторного вакуумного испарителя:

Усложняем номограмму

Теперь, разобравшись с простым примером, перейдем к более сложной зависимости. Воспользуемся уточненным правилом Trouton–Hildebrand–Everett:

Запишем новую зависимость для номограммы:

Она попадает под случай блока типа 10

Теперь ось в середине номограммы может быть не только прямолинейной. Записываем код.

Заключение

Номограммы, как и работающие по схожему принципу логарифмические линейки и другие аналоговые устройства остались в далеком прошлом. Однако, не стоит о них совсем забывать — возможно, вы найдете им новые применения. Или, по крайней мере, найдете их интересным математическим развлечением. Пишите в комментариях о своем опыте.

Облачные серверы от Маклауд быстрые и безопасные.

Зарегистрируйтесь по ссылке выше или кликнув на баннер и получите 10% скидку на первый месяц аренды сервера любой конфигурации!

Что такое номограмма

Номогра́мма (греч. νομοσ — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Содержание

Номография

Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. Разработка теории номографических построений началась в XIX веке. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Л. К. Лаланном (1843). Основания общей теории номографических построений дал М. Окань   (фр.) (1884—1891) — в его же работах впервые появился термин «номограмма», установленный для применения в 1890 году Международным математическим конгрессом в Париже. Первым в России в этой области работал Н. М. Герсеванов (1906—1908), затем, создавший советскую номографическую школу, Н. А. Глаголев.

Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы различают по способу изображения значений переменных (точками или линиями) и по способу задания соответствия между изображениями переменных. Наиболее распространены следующие номограммы:

из выравненных точек	Для уравнений с тремя переменными применяют три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой — отсюда и название типа номограммы. Именно с них началось развитие номографии — раздела математики, объединяющего теорию и практические методы построения номограмм.
сетчатые	Для построения сетчатых номограмм из прямых линий применяются функциональные сетки, простейшими из которых являются логарифмическая и полулогарифмическая. Кроме прямой линии могут применяться и другие так называемые разрешающие индексы номограммы: окружности (Годсель), произвольная кривая (Швердт), катеты чертёжного угольника (Сиглер) и т.д.
транспарантные	В простейшем случае состоит из двух плоскостей: основной плоскости и транспаранта с изображениями на них переменных. Транспарант часто делается из прозрачного материала. Пример транспарантной номограммы — логарифмическая линейка.

При построении сетчатых номограмм может быть поставлена дополнительная задача, анаморфоза: найти такое преобразование, при котором все три семейства линий номограммы обращаются в семейства прямых, что упрощает её вычерчивание.

Для уравнений со многими переменными применяются составные номограммы, состоящие из номограмм, связанных общими шкалами или семействами линий.

НОМОГРАММА

номограмма ж. График геометрических величин, применяемый при различных расчетах.

номограмма
ж. мат.
nomogram, nomograph

НОМОГРАММА (от греч. nomos — закон и . грамма), чертёж, являющийся особым изображением функциональной зависимости (см. Номография). Осн. назначение Н. — служить средством для вычислений. Н. применяется в инж. расчётах, играя роль специализированных счётных приспособлений.

Новый словарь иностранных слов.- by EdwART, , 2009 .

Большой словарь иностранных слов.- Издательство «ИДДК» , 2007 .

Толковый словарь иностранных слов Л. П. Крысина.- М: Русский язык , 1998 .

(от греч. пбтоз — закон и . грамма) — чертёж, являющийся изображением функ-цион. зависимостей и применяемый для получения (без вычислений) приближ. решений ур-ний. По Н. можно вычислить, напр., значение одного из углов а_у (см. рис.) установки резца на заточном станке по заданным значениям углов резца а и ф, связанных зависимостью: tgа_y = tgа/sinф. H. состоит из трёх шкал, соответствующих перечисл. выше углам, и построена так, что 3 точки, изображающие на шкалах значения а_y, а и ф, всегда лежат на одной прямой. На рис. штриховой линией показано положение прямой, когда по а = 10,5° и ф = 9° определяется a_у = 50°.

(Nomogram, nomograph) — графическое отображение в числовых пометках математического выражения, позволяющее во много раз сократить вычислительную работу. Н. применимы всюду, где не требуется большой точности расчетов, и предохраняют от случайных ошибок, свойственных всяким вычислениям.

Самойлов К. И. Морской словарь. — М.-Л.: Государственное Военно-морское Издательство НКВМФ Союза ССР , 1941

Старинное искусство номографии

Впервые увидел этот странный график в лаборатории университета. Невзрачный листок, ксерокопированный из старой книги, был наклеен на стену рядом с роторным испарителем. Листок, очевидно, использовали часто, но берегли, словно в нём содержалось какое-то древнее могучее заклинание… Впоследствии, схожего рода графики попадались мне и в других лабораториях, словно составляли неотъемлемую часть перегонки с вакуумом. Затем похожие рисунки встречались на страницах разной технической литературы. Их называли номограммы. Научиться ими пользоваться оказалось до смешного просто, но кто и как их в своё время сделал — оставалось загадкой.

Как выглядят номограммы и как они работают

Номограмма, что часто используется при перегонке с вакуумом приведена на рисунке ниже.

Допустим, вы провели реакцию в растворителе, а теперь собираетесь его удалить (выпарить), чтобы собрать продукт реакции. Растворитель улетучивается изнурительно медленно, а чтобы ускорить процесс, вы решаете его нагреть, но вот беда — греть раствор нежелательно, так как продукт реакции от нагревания может испортиться. Создав пониженное давление, вы уменьшите температуру кипения растворителя и сумеете его отделить не причинив вреда растворенному в нем веществу. При нормальном атмосферном давлении 760 мм ртутного столба вода кипит при 100 С, однако, при давлении 40 мм кипит уже при 34 С.

А как быть с гамма-бутиролактоном, который кипит при 204 С? Отмечаем на оси «Температура кипения при 760 мм» точку 204 С, выставляем на кривой оси «Остаточное давление» 5 мм, проводим прямую до пересечения с третьей осью. Ага, значит, в этих условиях наш растворитель начнет выкипать примерно при 70 С.

Это был пример достаточно простой номограммы. Ниже я привожу более сложную. Достоинство номограмм в том, что в них умещаются довольно сложные функциональные зависимости с несколькими переменными. В самом деле, сколько бы понадобилось обычных графиков вида для такой задачи?

Второй момент — эмпирические формулы бывают сложны для запоминания и неудобны. Вдруг неохота доставать смартфон, искать соответствующую программу, или же вообще тащить с собой компьютер. А так — вот в заводском помещении висит психрометр для замера влажности воздуха, вот номограмма — по ней легко прикинуть влажность.

Разбираемся и делаем свои номограммы

Основания общей теории номографических построений дал Морис Окань (1884—1891) — в его же работах впервые появился термин «номограмма». Книга Traité de nomographie. Théorie des abaques. Applications pratiques доступна онлайн. Это истоки. Более краткое современное изложение принципов номографии, по которому я учился делать номограммы читайте здесь — The Lost Art of Nomography by Ron Doerfler.

Чтобы сделать номограмму определения температуры кипения при разных давлениях нам понадобится правило Трутона: молярная энтропия испарения разных веществ при нормальной температуре кипения является постоянной величиной. Затем, уравнение Клапейрона — Клаузиуса:

где — энтальпия испарения, — газовая постоянная.

Интегрируя последнее уравнение мы получаем:

где под мы обозначим давление 760 мм ртутного столба, а — температуру кипения при этом давлении. Нас интересует температура кипения при пониженном давлении .

Правило Трутона запишем так:

Подставив последнее выражение, получим расчётную формулу:

Её и следует привести в номограмму.

Построение номограмм с pynomo

Следующий шаг — устанавливаем питон-библиотеку pynomo. Тривиально:

Библиотека умеет строить различные номограммы из десяти стандартных блоков.

Нам понадобится стандартный блок номер 2 кодирующий зависимости вида:

где — какая-то одномерная функциональная зависимость. Разберём простой пример.

Пусть у нас есть лабораторная центрифуга, для которой мы хотим привести номограмму соответствия числа оборотов ротора в минуту (RPM) с достигаемым центробежным ускорением. Формула следующая:

Функция записывается строкой:

Программа построит номограмму в файл RPM.pdf, ниже на рисунке.

Пунктирная линия называется изоплета — она показывает, как пользоваться номограммой для расчёта достигаемого ускорения (в единицах g) при данной геометрии ротора (радиус вращения) и числа оборотов в минуту (RPM).

Почему этот график так работает? Смотрите чертеж.

Из него видно, что треугольники ABC и CDE — подобны. Следовательно:

где L — длина BD, она задана. Пользуясь этим соотношением, можно построить шкалу на L.

Зная этот принцип, мы можем построить номограмму для соотношения

что даст нам номограмму для роторного вакуумного испарителя:

Усложняем номограмму

Теперь, разобравшись с простым примером, перейдем к более сложной зависимости. Воспользуемся уточненным правилом Trouton–Hildebrand–Everett:

Запишем новую зависимость для номограммы:

Она попадает под случай блока типа 10

Теперь ось в середине номограммы может быть не только прямолинейной. Записываем код.

Заключение

Номограммы, как и работающие по схожему принципу логарифмические линейки и другие аналоговые устройства остались в далеком прошлом. Однако, не стоит о них совсем забывать — возможно, вы найдете им новые применения. Или, по крайней мере, найдете их интересным математическим развлечением. Пишите в комментариях о своем опыте.

Облачные серверы от Маклауд быстрые и безопасные.

Зарегистрируйтесь по ссылке выше или кликнув на баннер и получите 10% скидку на первый месяц аренды сервера любой конфигурации!

Номограмма — Nomogram

Типичная номограмма в параллельном масштабе. В этом примере вычисляется значение T, когда в уравнение подставляются S = 7,30 и R = 1,17. Изоплета пересекает шкалу T чуть менее 4,65.

A номограмма (от греческого νόμος nomos, «закон» и γραμμή grammē, «линия»), также называемая номограммой, таблица выравнивания или abaque — это графическое вычислительное устройство, двумерная диаграмма, предназначенная для приближенного графического вычисления математической функции. Область номографии была изобретена в 1884 году французским инженером Филбером Морисом д’Окань (1862–1938) и широко использовалась в течение многих лет для предоставления инженерам быстрых графических расчетов сложных формул с практической точностью. В номограммах используется параллельная система координат, изобретенная д’Окань, а не стандартная декартова система координат.

. Номограмма состоит из набора из n шкал, по одной для каждой переменной в уравнении. Зная значения n-1 переменных, можно найти значение неизвестной переменной или, зафиксировав значения некоторых переменных, можно изучить взаимосвязь между нефиксированными переменными. Результат получается путем наложения линейки на известные значения на шкалах и считывания неизвестного значения от того места, где оно пересекает шкалу для этой переменной. Виртуальная или нарисованная линия, созданная линейкой, называется индексной линией или изоплетой.

Номограммы процветали в самых разных контекстах в течение примерно 75 лет, потому что они позволяли быстро и точно вычислять до эпохи карманных калькуляторов. Результаты номограммы можно получить очень быстро и надежно, просто проведя одну или несколько линий. Пользователь не должен знать, как решать алгебраические уравнения, искать данные в таблицах, использовать логарифмическую линейку или подставлять числа в уравнения для получения результатов. Пользователю даже не нужно знать основное уравнение, которое представляет номограмма. Кроме того, номограммы естественным образом включают неявное или явное знание предметной области в свой дизайн. Например, чтобы создать более крупные номограммы для большей точности, номограф обычно включает только разумные диапазоны шкалы, которые представляют интерес для проблемы. Многие номограммы включают другие полезные обозначения, такие как справочные метки и цветные области. Все они служат полезными ориентирами для пользователя.

Импеданс Диаграмма Смита (без данных на графике)

Подобно логарифмической линейке номограмма представляет собой графическое аналоговое вычислительное устройство, и, как и линейка, ее точность ограничена точностью с какие физические маркировки можно рисовать, воспроизводить, просматривать и выравнивать. В то время как логарифмическая линейка предназначена для использования в качестве универсального устройства, номограмма предназначена для выполнения конкретных расчетов, а таблицы значений эффективно встроены в конструкцию шкалы . Номограммы обычно используются в приложениях, где уровень точности, который они предлагают, является достаточным и полезным. В качестве альтернативы, номограмму можно использовать для проверки ответа, полученного в результате другого, более точного, но, возможно, подверженного ошибкам расчета.

Другие типы графических калькуляторов, такие как диаграммы с пересечением, трилинейные диаграммы и гексагональные диаграммы, иногда называют номограммами. Другие такие примеры включают диаграмму Смита, графический калькулятор, используемый в электронике и системном анализе, термодинамических диаграммах и тефиграммах, который используется для построения вертикальной структуры атмосферы и выполнения расчетов ее устойчивости и влажности. Они не соответствуют строгому определению номограммы как графического калькулятора, решение которого находится с использованием одной или нескольких линейных изоплет.

Содержание

• 1 Описание
• 2 Области применения
• 3 Примеры
  • 3.1 Параллельное сопротивление / тонкие линзы
  • 3.2 Вычисление критерия хи-квадрат
  • 3.3 Оценка риска пищевых продуктов
  • 3.4 Оценка размера выборки
  • 3.5 Другие быстрые номограммы

  Описание

  Компоненты номограммы в параллельном масштабе

  Номограмма для уравнения с тремя переменными обычно имеет три шкалы, хотя существуют номограммы, в которых две или даже все три шкалы являются общими. Здесь две шкалы представляют известные значения, а третья — шкала, по которой считывается результат. Простейшее такое уравнение: u 1 + u 2 + u 3 = 0 для трех переменных u 1, u 2 и u 3. Пример номограммы этого типа показан справа, с комментариями, содержащими термины, используемые для описания частей номограммы.

  Более сложные уравнения иногда можно выразить как сумму функций трех переменных. Например, номограмма в верхней части этой статьи может быть построена как номограмма в параллельном масштабе, потому что ее можно выразить в виде такой суммы после логарифмирования обеих частей уравнения.

  Масштаб неизвестной переменной может находиться между двумя другими шкалами или вне их. Известные значения расчета отмечаются на шкалах для этих переменных, и между этими отметками проводится линия. Результат считывается по неизвестной шкале в точке, где линия пересекает эту шкалу. Шкалы включают «деления», чтобы указать точное расположение чисел, и они также могут включать помеченные справочные значения. Эти шкалы могут быть линейными, логарифмическими или иметь более сложную взаимосвязь.

  Образец изоплета, показанный красным на номограмме в верхней части этой статьи, вычисляет значение T, когда S = 7,30 и R = 1,17. Изоплета пересекает шкалу для T чуть меньше 4,65; большее число, напечатанное на бумаге с высоким разрешением, даст Т = 4,64 для трехзначной точности. Обратите внимание, что любая переменная может быть вычислена из значений двух других, функция номограмм, которая особенно полезна для уравнений, в которых переменная не может быть алгебраически изолирована от других переменных.

  Прямые шкалы полезны для относительно простых вычислений, но для более сложных вычислений может потребоваться использование простых или сложных изогнутых шкал. Номограммы для более чем трех переменных могут быть построены путем включения сетки шкал для двух переменных или путем объединения отдельных номограмм меньшего числа переменных в составную номограмму.

  Приложения

  Номограммы использовались во множестве приложений. Образец включает

  • исходное приложение от d’Ocagne, автоматизирующее сложные расчеты выемки и насыпи для удаления земли при строительстве национальной железнодорожной системы Франции. Это было важным подтверждением концепции, потому что расчеты нетривиальны, а результаты привели к значительной экономии времени, сил и денег.
  • Конструкция каналов, труб и проводов для регулирования потока воды.
  • Работа Лоуренса Хендерсона, в которой номограммы использовались для корреляции многих различных аспектов физиологии крови. Это было первое широкое использование номограмм в Соединенных Штатах, а также первые медицинские номограммы где-либо. Номограммы по-прежнему широко используются в медицинских областях.
  • Баллистические расчеты до появления систем управления огнем, где расчет времени был критичным.
  • Расчеты механического цеха для преобразования размеров чертежей и выполнения расчетов на основе материала размеры и свойства. Эти номограммы часто включают маркировку стандартных размеров и доступных изготовленных деталей.
  • Статистика, для сложных расчетов свойств распределений и для исследования операций, включая разработку приемочных испытаний для контроля качества.
  • Операции Исследования для получения результатов в различных задачах оптимизации.
  • Химия и химическая инженерия, чтобы инкапсулировать как общие физические взаимосвязи, так и эмпирические данные для конкретных соединений.
  • Аэронавтика, в которой номограммы использовались для десятилетия в кабинах самолетов всех мастей. В качестве вспомогательного средства навигации и управления полетом номограммы были быстрыми, компактными и простыми в использовании калькуляторами.
  • Астрономические расчеты, как в орбитальных расчетах после запуска Спутника-1, выполненных П.Е. Эльясберг.
  • Инженерные работы всех видов: Электрооборудование фильтров и линий передачи, механические расчеты напряжений и нагрузок, оптические расчеты и т. Д.
  • Военные, где требуются сложные расчеты производится в полевых условиях быстро и надежно, независимо от электрических устройств. , где были разработаны номограммы для оценки землетрясения магнитудой и представления результатов вероятностной сейсмической опасности анализ

  Примеры

  Параллельное сопротивление / тонкая линза

  Параллельное электрическое сопротивление номограмма

  Номограмма ниже выполняет вычисление

  Эта номограмма интересна тем, что выполняет полезный нелинейный расчет с использованием только прямолинейных шкал с одинаковой градуировкой. Хотя диагональная линия имеет масштаб в 2 <\ displaystyle <\ sqrt <2>>> раз больше, чем масштаб осей, числа на ней точно соответствуют числам, расположенным непосредственно под или слева от нее, и таким образом, его можно легко создать, нарисовав прямую линию по диагонали на листе миллиметровой бумаги..

  A и B вводятся в горизонтальной и вертикальной шкалах, а результат считывается по диагональной шкале. Будучи пропорциональной среднему гармоническому A и B, эта формула имеет несколько применений. Например, это формула параллельного сопротивления в электронике и уравнение тонкой линзы в оптике.

  В этом примере красная линия показывает, что параллельные резисторы на 56 и 42 Ом имеют суммарное сопротивление 24 Ом. Он также демонстрирует, что объект на расстоянии 56 см от линзы , фокусное расстояние которого составляет 24 см, формирует реальное изображение на расстоянии 42 см.

  Вычисление критерия хи-квадрат

  Распределение хи-квадрат номограмма

  Номограмма ниже может использоваться для приблизительного вычисления некоторых значений, необходимых при выполнении известного статистического теста, хи Пирсона. квадратный тест. Эта номограмма демонстрирует использование изогнутых шкал с неравномерно расположенными градуировками.

  Масштаб вверху используется для пяти различных диапазонов наблюдаемых значений: A, B, C, D и E. Наблюдаемое значение находится в одном из этих диапазонов, а метка, используемая на этой шкале, находится непосредственно над ним. Затем в зависимости от диапазона выбирается изогнутая шкала, используемая для ожидаемого значения. Например, для наблюдаемого значения 9 будет использоваться отметка над 9 в диапазоне A, а изогнутая шкала A будет использоваться для ожидаемого значения. Наблюдаемое значение 81 будет использовать отметку выше 81 в диапазоне E, а кривая шкала E будет использоваться для ожидаемого значения. Это позволяет объединить пять различных номограмм в единую диаграмму.

  Таким образом, синяя линия демонстрирует вычисление

  , а красная линия демонстрирует вычисление

  При выполнении теста поправка Йетса на непрерывность часто применяется, и она просто включает вычитание 0,5 из наблюдаемых значений. Номограмма для выполнения теста с поправкой Йейтса может быть построена просто путем сдвига каждой «наблюдаемой» шкалы на половину единицы влево, так что деления 1,0, 2,0, 3,0. помещаются там, где значения 0,5, 1,5, 2,5. появляются на данной диаграмме.

  Оценка риска пищевых продуктов

  Пищевые продукты оценка риска номограмма

  Хотя номограммы представляют собой математические отношения, не все они получены математическим путем. Следующий был разработан графически для достижения соответствующих конечных результатов, которые можно было бы легко определить по продукту их взаимоотношений в субъективных единицах, а не численно. Использование непараллельных осей позволило включить в модель нелинейные зависимости.

  Цифры в квадратных квадратах обозначают оси, требующие ввода после соответствующей оценки.

  Пара номограмм в верхней части изображения определяет вероятность появления и доступность, которые затем включаются в нижнюю многоступенчатую номограмму.

  Строки 8 и 10 являются «связующими линиями» или «линиями поворота» и используются для перехода между этапами составной номограммы.

  Последняя пара параллельных логарифмических шкал (12) не являются номограммами как таковые, а являются шкалами отсчета для перевода оценки риска (11, от отдаленного до чрезвычайно высокого) в частоту выборки для рассмотрения аспектов безопасности и других аспекты «защиты потребителей» соответственно. На этом этапе требуется политическая «поддержка», уравновешивающая стоимость и риск. В примере используется трехлетняя минимальная частота для каждого, хотя крайняя граница шкалы высокого риска отличается для двух аспектов, давая разную частоту для двух, но оба подлежат общему минимальному отбору каждого пищевого продукта по крайней мере для всех аспектов. раз в три года.

  Эта номограмма оценки риска была разработана Службой общественных аналитиков Великобритании при финансовой поддержке Агентства по пищевым стандартам Великобритании для использования в качестве инструмента указывать соответствующую частоту отбора проб и анализа пищевых продуктов для официальных целей контроля пищевых продуктов, предназначенную для использования для оценки всех потенциальных проблем со всеми пищевыми продуктами, хотя еще не приняты.

  Оценка размера выборки

  Номограмма для оценки размера выборки

  Эту номограмму можно использовать для оценки требований к размеру выборки для статистического анализа. Он использует четыре параметра: α (фиксированный), размер эффекта (ρ или δ), статистическая мощность и количество случаев N (две шкалы для α = 0,05 (либеральный) или 0,01 (консервативный)).

  Предполагаемая величина эффекта в совокупности может быть выражена либо как коэффициент корреляции (ρ), либо как нормализованная разница в средних (δ) для T-теста. Нормализованная разница равна абсолютной величине разницы между двумя средними значениями совокупности (μ₁ — μ₁), деленной на объединенное стандартное отклонение (я).

  Требуемая статистическая мощность оценивается как 1 — β, где β равно вероятности совершения ошибки типа II. Ошибка типа II — это неспособность отклонить статистическую нулевую гипотезу (т. Е. Ρ или δ равно нулю), тогда как на самом деле нулевая гипотеза ложна для совокупности и должна быть отклонена. Коэн (1977) рекомендует использовать степень, равную 0,80 или 80%, для β = 0,20.

  Размер выборки или необходимое количество случаев указывается для двух стандартных уровней статистической значимости (α = 0,01 или 0,05). Значение α — это вероятность ошибки I типа. Ошибка типа I отвергает статистическую нулевую гипотезу (т. Е. Утверждает, что либо ρ, либо δ равно нулю), хотя на самом деле она истинна (значение равно нулю) в генеральной совокупности и не должна отклоняться. Наиболее часто используемые значения α — 0,05 или 0,01.

  Чтобы найти требования к размеру выборки для данного статистического анализа, оцените размер эффекта, ожидаемого в генеральной совокупности (ρ или δ) на левой оси, выберите желаемый уровень мощности на правой оси и проведите линию между двумя значениями.

  Если линия пересекается со средней осью α = 0,05 или α = 0,01, это указывает размер выборки, необходимый для достижения статистической значимости α менее 0,05 или 0,01, соответственно (для ранее заданных параметров).

  Например, если кто-то оценивает корреляцию совокупности (ρ) как 0,30 и желает статистической мощности равной 0,80, то для получения уровня значимости α менее 0,05 размер выборки будет N = Около 70 случаев округлено (точнее, примерно 68 случаев с использованием интерполяции).

  Другие быстрые номограммы

  Номограмма для закона синусов Номограмма для решения квадратичной x ^ 2 + px + q = 0 Номограмма для решения кубической x ^ 3 + px + q = 0

  Используя линейку, можно легко прочитать пропущенный член закона синусов или корни квадратного и кубического уравнения.

  Похожие публикации:

  1. Hp scanjet tma fclsd 0508 как подключить
  2. Какие электросамокаты используются в прокате
  3. Как замерить разность потенциалов мультиметром
  4. Волны с минимальной частотой это какие волны