Как сделать тетраэдр в компасе

Известны успешные попытки использования, при изучении в школе геометрии, специализированных графических сред, например Windows-приложения Geometer’s Sketchpad. Альтернативы такому подходу не было, т. к. среды конечных пользователей, являвшиеся инструментами профессионалов, из-за высокой стоимости легально не применялись в образовательных учреждениях. Некоммерческое распространение учебных версий, в том числе графических пакетов, поставило вопрос о разумном выборе базового программного обеспечения, с помощью которого в общеобразовательных учреждениях решаются задачи геометрического моделирования в курсах информатики, черчения, геометрии.

11.1. Примеры решения задач на построение

Рассмотрим примеры решения школьных геометрических задач с помощью двумерного редактора КОМПАС-3В LT.

Условие. Построить квадрат по точкам А и В на серединах смежных сторон.

Условие. Построить квадрат по центру С и точкам А и В на одной из сторон.

Решение. На рис. 11.2 показаны этапы построения квадрата с указанием необходимых для решения команд.

Условие. Построить квадрат AEFG, площадь которого вдвое меньше площади квадрата ABCD, а вершина F принадлежит диагонали АС.

Условие. Построить параллелограмм по серединам трех сторон — точкам А, В, С.

Условие. Из точки А провести к окружности диаметром D = 20 мм с центром О две касательные АВ и АС, где В и С — точки касания. /_ ВАС = φ. Определить:

□ длину отрезка О А и угол φ, если ВС = 16 мм;

□ длину отрезка ВС и угол φ, если АО = 25 мм;

□ длину отрезков ВС и АО, если φ = 80°.

Условие. Стороны АВ и АС треугольника ABC являются касательными окружности радиуса R с центром О. /_ ВАС = φ. Определить:

□ радиус R и длину отрезка ОА, если ВС = 16 мм, φ = 50°;

□ радиус R и длину отрезка ВС, если АО = 20 мм,φ = 50°;

□ радиус R и угол ср, если АО = 30 мм, ВС =18 мм.

Условие. Определить периметр треугольника ABC, с медианой AK = 25 мм, построенного по следующим исходным данным:

□ AK = 20 мм, BK = 16 мм;

□ ВС = 35 мм, высота АР =15 мм;

□ ВС = 32 мм, АВ = 16 мм.

□ а — отрезок АВ; окружности с центром А радиуса 20 мм и с центром В радиуса 16 мм; с центром K радиуса 16 мм;

□ б — отрезок СВ; окружности с центром K радиуса 17,5 мм и радиуса 20 мм;

□ в — окружности с центром K радиуса 16 мм и радиуса 20 мм; с центром В радиуса 16 мм.

11.2. Примеры по разным темам с решениями

Условие. Две окружности, диаметры которых равны 30 и 20 мм, имеют внутреннее касание в точке А (рис. 11.8, а). Найти диаметр третьей окружности, касающейся двух и их общего диаметра.

Решение. Вначале необходимо построить две окружности заданных диаметров и отрезок, проходящий через их центры. Затем необходимо вызвать команду Окружность, касательная к трем кривым, построить третью окружность и измерить ее диаметр.

Условие. В прямоугольном треугольнике ABC, гипотенуза АВ которого равна 30 мм, проведены медианы АМ и BN (рис. 11.8, б). Известно, около четырехугольника ABMN можно описать окружность. Найти ее диаметр.

Условие. Точка K лежит на продолжении стороны AD ромба ADCD за точку D, Е — точка пересечения АС и BK (рис. 11.9), AK = 70 мм, точки А, В и Е лежат на окружности диаметра 60 мм, центр которой принадлежит отрезку AK. Найти длину отрезка BK.

Решение. В данном примере графическое решение получается в результате построения параметрических изображений. Рассмотрим этапы решения примера, показанные на рис. 11.9:

□ а — строится окружность и отрезок заданных размеров. Положение окружности фиксируется привязками к взаимно перпендикулярным отрезкам;

□ б — из точки D проводится дуга с центром в точке А;

□ в — точка дуги В привязкой Точка на кривой перемещается на окружность. Концы отрезков из точек А и K совмещаются с точкой В. В результате точка В может перемещаться по окружности, при этом длины отрезков АВ и KB будут изменяться;

□ г — проводится отрезок DC, параллельный и равный отрезку АВ. Точки пересечения отрезков BK и АС с окружностью еще не совпадают;

□ д — точки пересечения отрезков BK и АС с окружностью объединяются в точке Е, за счет изменения геометрии изображения на рис. 11.10, г. Измеряется длина отрезка BK = 35 мм.

Условие. Трапеция AEFG с основаниями ЕF и AG расположена в квадрате ABCD со стороной 14 так, что точки E, F и G лежат на сторонах AB, BC и CD соответственно (рис. 11.10). Диагонали AF и EG перпендикулярны, а EG = 10√2. Найти периметр трапеции.

Решение. На рис. 11.10, а показано, что трапеция с взаимно перпендикулярными диагоналями имеет равные по длине боковые стороны, а точка пересечения диагоналей располагается на отрезке, соединяющем середины параллельных сторон трапеции. На рис. 11.10, б выполнены построения по размерам стороны AF и стороны EG, которая симметрична AF относительно отрезка BD, с помощью команды Симметрия. На рис. 11.10, в показаны измеренные длины сторон трапеции, что позволяет найти периметр трапеции, равный 45.

11.3. Сведение стереометрических задач к планиметрическим

Основной способ решения стереометрических задач — сведение их к планиметрическим. Для этого можно применить метод проекций, заключающийся в проецировании геометрического объекта на подходящую плоскость. Преимуществом метода проекций является то, что он позволяет отобразить на плоском рисунке и увязать друг с другом элементы объектов, не лежащие в одной плоскости. При этом если объект расположить надлежащим образом по отношению к плоскости рисунка, то искомые метрические характеристики (и линейные, и угловые) проецируются на подходящую плоскость в заранее предусмотренном виде, например в натуральную величину.

Условие. Дана правильная пятиугольная пирамида ABCDEF. Радиус окружности, описанной вокруг основания АВCDE, равен 16 мм. Высота пирамиды 25 мм. Определить следующие метрические характеристики:

□ длину бокового ребра AF и угол его наклона к основанию;

□ расстояние от вершины В до противоположной грани и высоту этой грани;

□ угол между гранями с общим ребром AF и расстояние от этого ребра до ребра CF;

□ диаметры вписанной в пирамиду и описанной вокруг пирамиды сфер;

□ угол между ребрами BF и EF, соединяющими вершину пирамиды с противолежащими вершинами основания;

□ угол между боковыми гранями Е = BCF и Q = DEF, не имеющими общего ребра.

Решение примера представлено на рис. 11.11.

Создание 30-моделей элементарных геометрических тел

Геометрическое тело — часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью.

Поверхность — это множество всех последовательных положений движущей линии. Эта линия, называемая образующей, при движении может сохранять или изменять свою форму.

Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями, называемыми направляющими, по которым скользит образующая при своем движении.

Рассматривая образование геометрических тел, необходимо отметить, что одно и то же геометрическое тело (а следовательно, и его модель) может быть получено различными способами.

В данной главе рассматриваются приемы создания различными способами твердотельных моделей элементарных геометрических тел — выпуклых многогранников и тел вращения.

12.1. Гранные поверхности и многогранники

Гранные поверхности — поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по направляющей, представляющей собой ломаную линию. На рис. 12.1 показан пример пирамидальной и призматической поверхностей.

Призматическая поверхность образована движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом образующая перемещается параллельно некоторому наперед заданному направлению.

Многогранники — замкнутые поверхности, образованные некоторым количеством граней.

Выпуклый многогранник расположен по одну сторону плоскости каждой грани многогранника. Сами грани также являются выпуклыми многогранниками.

Пирамида (рис. 12.2, а) — многогранник, у которого одна грань, принимаемая за основание, является многоугольником, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей точкой S, называемой вершиной.

В зависимости от числа вершин у многоугольника основания, пирамиду называют: треугольной, если в основании треугольник; четырехугольной, если в основании четырехугольник, и т. д.

Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, с центром которого совпадает высота правильной пирамиды. Если пирамида является правильной, то в нее или около можно вписать или описать сферу, центр которой лежит на высоте пирамиды.

Призма (рис. 12.2, б) — многогранник, у которого две грани — основания являются одинаковыми и взаимно параллельными многоугольниками, а остальные грани (боковые) — четырехугольниками.

Прямая призма имеет боковые ребра, которые перпендикулярны основанию.

Правильная призма — это прямая призма, у которой основания — правильные многоугольники.

Призматоид — многогранник, у которого параллельные основания являются многоугольниками с произвольным числом углов, боковые грани — треугольники (рис. 12.3, а) или трапеции (рис. 12.3, б).

Гранями правильных многогранников могут быть только правильные треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Одной из особенностей правильных многогранников является то, что каждый из них вписывается в сферу. Примерами правильных многогранников являются:

□ тетраэдр — правильный четырехгранник (рис. 12.4, а);

□ гексаэдр — правильный шестигранник (рис. 12.4, б);

□ октаэдр — правильный восьмигранник (рис. 12.4, в);

□ додекаэдр — правильный двенадцатигранник (рис. 12.4, г);

□ икосаэдр — правильный двадцатигранник (рис. 12.4, д).

12.2. Моделирование правильных многогранников

Рассмотрим примеры 3D-моделирования правильных многогранников.

Условие. Создать твердотельную модель куба (см. рис. 12.4, б).

Решение. Модель куба получим в результате выдавливания квадрата на расстояние, равное его стороне.

1. Для создания модели выполните команду Файл | Создать или нажмите кнопку Создать на панели Стандартная:

В открывшемся окне выберите тип нового документа Деталь.

В Дереве модели укажите Плоскость XY. Введите название модели — Куб (рис. 12.5).

Компас 3D. Пирамида (тетраэдр) с шаром.

Подпишитесь на автора, если вам нравятся его публикации. Тогда вы будете получать уведомления о его новых статьях.