Сколько строк в таблице истинности

9

Таблица истинности

bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис.
Для булевой функции, заданной вектором значений (например, 00111011 ) используйте ввод данных через таблицу.

Правила ввода логической функции

1. Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
2. Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
3. Максимальное количество переменных равно 10 .

• словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
• описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
• описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
  а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
  1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
  2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
  3) полученное произведение логически суммируется.
  Fднф= X ₁*Х₂*Х₃ ∨ Х₁ x ₂Х₃ ∨ Х₁Х₂ x ₃ ∨ Х₁Х₂Х₃
  ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
  б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
  КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
  1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
  2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
  3) логически перемножаются полученные суммы.
  Fскнф=(X₁ V X₂ V X₃) ∧ (X₁ V X₂ V X ₃) ∧ (X₁ V X ₂ V X₃) ∧ ( X ₁ V X₂ V X₃)
  КНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг.

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Разбор 2 задания ЕГЭ по информатике про таблицы истинности

2-е задание: «Таблицы истинности»
Уровень сложности — базовый,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 3 минуты.

Проверяемые элементы содержания: Умение строить таблицы истинности и логические схемы

«Игнорирование прямо указанного в условии задания требования, что заполненная таблица истинности не должна содержать одинаковых строк. Это приводит к внешне правдоподобному, но на самом деле неверному решению»

Таблицы истинности и порядок выполнения логических операций

Таблица истинности операции НЕ

Таблица истинности операции И (конъюнкция)

Таблица истинности операции ИЛИ (дизъюнкция)

Таблица истинности операции Импликация (если…, то…)

Таблица истинности операции Эквивалентность (тогда и только тогда, …)

• если нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», импликация, равносильность

• логическое произведение X∙Y∙Z∙… равно 1, т.е. выражение является истинным, только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)
• логическая сумма X+Y+Z+… равна 0, т.е. выражение является ложным только тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)

О преобразованиях логических операций читайте здесь.

Решение заданий 2 ЕГЭ по информатике

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:

Задание 2_11: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Логическая функция F задается выражением

Ниже приведен фрагмент таблицы истинности функции F, содержащей все наборы аргументов, при которых функция F ложна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе запишите буквы в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

Отобразим перебор всех значений использующихся в выражении переменных (всю таблицу истинности). Поскольку в выражении используются 4 переменных, то строк таблицы будет 2 4 =16:

✎ Способ 2. Программирование:
Язык python:

print(‘x y z w’) for x in 0, 1: for y in 0, 1: for z in 0, 1: for w in 0, 1: F = (not(x) or y or z) and (x or not(z) or not(w)) if not(F): print(x, y, z, w)

Язык pascalAbc.net:

begin writeln(‘x’:7, ‘y’:7, ‘z’:7,’w’:7); for var x:=false to true do for var y:=false to true do for var z:=false to true do for var w:=false to true do if not((not x or y or z) and (x or not z or not w)) then writeln(x:7, y:7, z:7,w:7); end.

Ответ:

✎ Способ 3. Логические размышления:

• Внешняя операция выражения — конъюнкция (∧). Во всех указанных строках таблицы истинности функция принимает значение 0 (ложь). Конъюнкция ложна аж в трех случаях, поэтому проверить на ложь очень затруднительно. Тогда как конъюнкция истинна (= 1) только в одном случае: когда все операнды истинны. Т.е. в нашем случае:
• Общая идея дальнейшего решения такова: поскольку внешняя операция — конъюнкция, и результат ее истинен, когда оба сомножителя в скобках будут истинны (=1), то нам необходимо сначала составить все наборы таблицы истинности для обоих сомножителей в скобках. Затем, так как конъюнкция подразумевает пересечение, необходимо сопоставить обе таблицы истинности и выбрать для каждого подходящего набора первого сомножителя подходящий (подходящие) набор (наборы) второго сомножителя. НО! так как у нас в задании известны только наборы для F = 0, то мы сопоставлять будем наборы, которые возвращают ложь. Теперь подробно.
• Разобьём исходное выражение на две части и составим таблицу истинности отдельно для двух частей.
• Для сомножителя (¬x ∨ y ∨ z):
  

  x	y	z	результат
  0	0	0	1
  0	0	1	1
  0	1	0	1
  0	1	1	1
  1	0	0	0
  1	0	1	1
  1	1	0	1
  1	1	1	1

• Получили ложь в одном наборе, так как дизъюнкция (∨) ложна только тогда, когда ложны все операнды.
• Для сомножителя (x ∨ ¬z ∨ ¬w):
  

  x	z	w	результат
  0	0	0	1
  0	0	1	1
  0	1	0	1
  0	1	1	0
  1	0	0	1
  1	0	1	1
  1	1	0	1
  1	1	1	1

• Соответственно, опять получили ложь в одном наборе, когда ложны все операнды.
• Учтем, что нам нужно выбрать и «пересечь» (так как внешняя операция ∧) из всех наборов только те, которые возвращают ложь (так как по заданию известны только строки, где F = 0):

Результат: xwzy

🎦 Видеорешение (бескомпьютерный вариант):

Задание 2_12: Разбор 2 задания ЕГЭ:

Миша заполнял таблицу истинности функции:

но успел заполнить лишь фрагмент из трех различных ее строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z:

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

• Решим задание методом построения полной таблицы истинности.
• Посчитаем общее количество строк в таблице истинности и построим ее:

Результат: ywxz

✎ Способ 2. Программирование:

begin writeln(‘x’:7, ‘y’:7, ‘z’:7,’w’:7); for var x:=false to true do for var y:=false to true do for var z:=false to true do for var w:=false to true do if not((not z and (x xor y)) <= not(y or w)) then writeln(x:7, y:7, z:7,w:7); end.

Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат: ywxz

print (‘x y z w’) for x in 0,1: for y in 0,1: for z in 0,1: for w in 0,1: F=(not z and not(x==y))<=(not(y or w)) if not F: print (x,y,z,w)

Результат: ywxz

🎦 Доступно видео решения этого задания (бескомпьютерный вариант):

🎦 Видео (решение 2 ЕГЭ в Excel):

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (Программирование)

Задание 2_10: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Логическая функция F задается выражением

Ниже приведен фрагмент таблицы истинности функции F, содержащей все наборы аргументов, при которых функция F истинна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c, d.

В ответе запишите буквы в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

Результат: cbad

🎦 (Бескомьютерный вариант) Предлагаем подробный разбор посмотреть на видео:

Логическая функция F задаётся выражением ¬x ∨ y ∨ (¬z ∧ w).
На рисунке приведён фрагмент таб. ист-ти функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

✍ Решение:

✎ Логические размышления (бескомпьютерный вариант):

Результат: xzwy

✎ Способ 2. Программирование:
Язык pascalABC.NET:

begin writeln(‘x ‘,’y ‘,’z ‘,’w ‘); for var x:=false to true do for var y:=false to true do for var z:=false to true do for var w:=false to true do if not(not x or y or(not z and w)) then writeln(x:7,y:7,z:7,w:7); end.

🎦 (бескомпьютерный вариант) Подробное решение данного 2 задания из демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:

Логическая функция F задаётся выражением

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

Результат: xwzy

🎦 Видеорешение (бескомпьютерный вариант):
📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задания для тренировки

Задание 2_2: Задание 2 ЕГЭ по информатике:

Каждое из логических выражений F и G содержит 5 переменных. В табл. истинности для F и G есть ровно 5 одинаковых строк, причем ровно в 4 из них в столбце значений стоит 1.

Сколько строк таблицы истинности для F ∨ G содержит 1 в столбце значений?

✍ Решение:

• Поскольку в каждом из выражений присутствует 5 переменных, то эти 5 переменных порождают таблицу истинности из 32 строк: т.к. каждая из переменных может принимать оно из двух значений (0 или 1), то различных вариантов с пятью переменными будет 2 5 =32, т.е. 32 строки.
• Из этих 32 строк и для F и для G мы знаем наверняка только о 5 строках: 4 из них истинны (=1), а одна ложна (=0).
• Вопрос стоит о количестве строк = 1 для таб. истинности F ∨ G. Данная операция — дизъюнкция, которая ложна только в одном случае — если F = 0 и одновременно G = 0
• В исходных таблицах для F и G мы знаем о существовании только одного 0, т.е. в остальных строках может быть 1. Т.о., и для F и для G в 31 строке могут быть единицы (32-1=31), а лишь в одной — ноль.
• Тогда для F ∨ G только в одном случае будет 0, когда и F = 0 и G = 0:
  

  №	F	G	F ∨ G
  1	0	0	0
  2	0	1	1
  …	…	…	1
  32	…	…	1

• Соответственно, истинными будут все остальные строки:

Результат: 31

Подробное объяснение данного задания смотрите на видео:

Задание 2_6: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 7 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы.

Каково максимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A ∨ B?

✍ Решение:

• Полная таблица истинности для каждого из выражений A и B состоит из 2 7 = 128 строк.
• В четырех из них результат равен единице, значит в остальных — 0.
• A ∨ B истинно в том случае, когда либо A = 1 либо B = 1, или и A и B = 1.
• Поскольку А = 1 только в 4 случаях, то чтобы получить максимальное количество единиц в результирующей таблице истинности (для A ∨ B), расположим все единицы т.и. для выражения A так, чтобы они были в строках, где B = 0, и наоборот, все строки, где B = 1, поставим в строки, где A = 0:
  

  A	B
  1	0
  1	0
  1	0
  1	0
  0	1
  0	1
  0	1
  0	1
  0	0
  …	…

• Итого получаем 8 строк.
• Если бы в задании требовалось найти минимальное количество единиц, то мы бы совместили строки со значением = 1, и получили бы значение 4.

Результат: 8

Задание 2_7: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 8 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 6 единиц.

Каково максимально возможное число нулей в столбце значений таблицы истинности выражения A ∧ B?

✍ Решение:

• Полная таблица истинности для каждого из выражений A и B состоит из 2 8 = 256 строк.
• В шести из них результат равен единице, значит в остальных — 0.
• A ∧ B ложно в том случае, когда:
• Во всех случаях там где А=1 может стоять B=0, и тогда результат F = 0. Поскольку нам необходимо найти максимально возможное число нулей, то как раз для всех шести А=1 сопоставим B=0, и наоборот, для всех шести возможных B=1 сопоставим A=0
  

  A	B	F
  1	0	0
  1	0	0
  1	0	0
  1	0	0
  0	1	0
  0	1	0
  0	1	0
  0	1	0
  0	0	0
  …	…	…

• Поскольку строк всего 256, то вполне возможно, что все 256 из них возвратят в результате 0

Результат: 256

Задание 2_4: 2 задание:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

Каким из приведённых ниже выражений может быть F?
1) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7
2) x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7
3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
4) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

✍ Решение:

• В первом внешняя операция (выполняется последней) — конъюнкция. Начнем рассмотрение с нее. Соответственно, проверяем по второй строке таб. ист-ти, там где F = 1, так как в таком случае все аргументы должны быть истинными (см. таб. истинности для конъюнкции).
• Если мы подставим в нее все аргументы выражения, то функция действительно возвращает истину. Т.е. пункт первый подходит:

Результат: 1

Решение 2 задания ГВЭ по информатике смотрите на видео:

Задание 2_8: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

(¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ x5) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5)

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение истинно?

✍ Решение:

• Поскольку выражение включает 5 переменных, то таб. ист-ти состоит из 2 5 = 32 строк.
• Внешней операцией (последней) является конъюнкция (логическое умножение), а внутри скобок — дизъюнкция (логическое сложение).
• Обозначим первую скобку за А, а вторую скобку за B. Получим A ∧ B.
• Найдем сколько нулей существует для таб. истинности:

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ x5 = 0
и
x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 = 0.

Результат: 2

Подробное решение задания смотрите в видеоуроке:

Задание 2_5: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x3 не совпадает с F.

✍ Решение:

• Полная таблица истинности будет иметь 2 6 = 64 строк (т.к. 6 переменных).
• 4 из них нам известны: в них x3 два раза не совпадает с F.
• Неизвестных строк:
• В неизвестных x3 может не совпадать с F, кроме того, в двух известных x3 не совпадает с F. Соответственно максимально возможное число строк с несовпадающими x3 и F, будет:

Результат: 62

Задание 2_9: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

Каким выражением может быть F?
1) x1 ∧ (x2 → x3) ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
2) x1 ∨ (¬x2 → x3) ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7
3) ¬x1 ∧ (x2 → ¬x3) ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ x7
4) ¬x1 ∨ (x2 → ¬x3) ∨ x4 ∨ x5 ∨ x6 ∧ x7

✍ Решение:

• Рассмотрим отдельно каждый пункт и найдем последнюю операцию, которая должна быть выполнена (внешнюю).

2 пункт:

3 пункт:

Результат: 4

В видеоуроке рассмотрено подробное решение 2 задания:

Задание 2_1: Задание 2 ЕГЭ по информатике:

Логическая функция F задается выражением
(y → x) ∧ (y → z) ∧ z.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

• Сначала необходимо рассмотреть логическую операцию, которую мы будем выполнять в последнюю очередь — это логическое И (конъюнкция) или ∧. То есть внешнюю операцию:
• Конъюнкцию легче рассматривать по тем строкам таб. ист-ти, в которых F = 1, т.е. №3, №4, и №8
• Поскольку для конъюнкции функция истинна только тогда, когда все переменные истинны, то необходимо чтобы отдельно каждая скобка была истинна ((y → x) = 1 и (y → z)=1) и переменная z тоже была истинной (=1)
• Поскольку с выражениями в скобках сложней работать, определим сначала какому столбцу соответствует z. Для этого выберем строку (№3), где F = 1, а в остальных ячейках только одна единица, остальные — нули.
  

  №	Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	F
  3	0	1	0	1

• Таким образом, делаем вывод, что z находится во втором столбце (отсчет ведем слева):
  

  №	Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	F
  _	.	z	.	F

• Дальше нам необходимо рассмотреть две скобки, в которых находится операция импликации: (y → x) и (y → z). Обе эти скобки должны возвращать истину (=1). В таб. истинности для импликации, функция возвращает в результате 1 тогда, когда:
• вторая переменная (заключение) равна 1 (первая при этом может быть любой),
• вторая переменная (заключение) равна 0, а первая обязательно должна быть равна тоже 0.
• Рассмотрим скобку (y → x) и строку 4 таблицы:
  

  №	Перем. 1	z	Перем. 3	F
  4	0	1	1	1

• Для этой строки только y может быть равен 0, т.к. если x = 0, тогда y=1, и скобка в результате возвратит ложь (1 → 0 = 0). Соответственно, y находится в первом столбце. А x значит должен стоять в третьем:
  

  y

  z

  x

  F

Результат: yzx

Детальный разбор данного задания 2 ЕГЭ по информатике предлагаем посмотреть в видео:

Определить количество строк и столбцов в таблице истинности.

Т.к. каждое из простых высказываний может принимать всего два значения (0 или 1), то количество разных комбинаций значений n высказываний – 2 n .

Количество строк в таблице = 2 n + строка на заголовок.

Количество столбцов в таблице равно сумме количества простых высказываний (n) и количества разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

В нашем примере: количество строк — 2 2 + 1 = 5 ,

столбцов – 2 + 4 = 6

Начертить таблицу и заполнить заголовок

Первая строка – номера столбцов.

Вторая строка промежуточные формулы и соответствующие им условные записи операций над значениями .

Заполнить первые n столбцов.

В нашем примере сначала заполняем 1-й и 2-й столбцы.

Заполнить остальные столбцы.

В соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций, причем при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями одного или двух столбцов, расположенных левее заполняемого.

Итак, вычисляем значения 3-го столбца по значениям 2-го, потом значения 4-го – по значениям 1-го и 2-го…

Вывод: получили в последнем столбце все единицы. Значит, значение сложного высказывания истинно при любых значениях простых высказываний К и С. Следовательно, учитель рассуждал логически правильно.

СДНФ (Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций

в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причем в одинаковом порядке.

Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причем единственная.

СКНФ (Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций

в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных

каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ):

1) нет двух элементарных дизъюнкций;

2) ни одна элементарная дизъюнкция не содержит двух одинаковых переменных;

3) ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную вместе с ее инверсией;

4) все дизъюнкции имеют один и тот же ранг.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)

Алгоритм образования СКНФ и СДНФ по таблице истинности

1. Выделить в таблице истинности все строки, в которых функция принимает значения 0.

1. Выделить в таблице истинности все строки, в которых функция принимает значения 1.

2. Для каждого выбранного набора записать элементарные дизъюнкции, содержащие переменные:

а) если значение переменной равно 0, то записывается сама переменная,

б) если значение переменной равно 1, то записывается инверсия этой переменной.

2. Для каждого выбранного набора записать элементарные конъюнкции, содержащие переменные:

а) если значение переменной равно 0, то записывается инверсия этой переменной,

б) если значение переменной равно 1, то записывается сама переменная.

3. Соединить элементарные дизъюнкции знаком конъюнкции.

3. Соединить элементарные конъюнкции знаком дизъюнкции.

Полином Жегалкина — многочлен над кольцом , то есть полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения —исключающее или. Полином был предложен в 1927 году Иваном Жегалкиным в качестве удобного средства для представления функций булевой логики. В зарубежной литературе представление в виде полинома Жегалкина обычно называется алгебраической нормальной формой (АНФ).

Теорема Жегалкина — утверждение о существовании и единственности представления всякой булевой функции в виде полинома Жегалкина.

Полином Жегалкина представляет собой сумму по модулю два произведений неинвертированных переменных, а также (если необходимо) константы 1. Формально полином Жегалкина можно представить в виде

или в более формализованном виде как:

Примеры полиномов Жегалкина:

Аксиомы исчисления высказываний

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Правил вывода в ИВ имеется два. Первое из них, называемое правилом заключения или modus ponens (сокращенно mod pon) дает по паре формул Ф и Ф  Ψ формулу Ψ, или, в функциональных обозначениях,

Таким образом, mod pon – это функция двух переменных, причем определенная не всюду, а только для пар формул, очевидным образом согласованных друг с другом.

Второе из правил вывода – это правило подстановки. Операция подстановки Ψ естественно определяется для произвольных слов. Итак, пусть Ф и Ψ – слова в некотором алфавите А, а x – буква того же алфавита. Результатом подстановки слова Ψ вместо буквы х в слово Ф, обозначаемым S х _Ψ Ф, называют слово, получающееся из Ф в результате замены каждого вхождения в него буквы х на слово Ψ. Например,

S л _жирофл леля = жирофлежирофля.

(Отметим на всякий случай, что все вхождения символа х в Ф заменяются на Ψ, так сказать, “одновременно”: дело в том, что в слове Ψ тоже могут содержаться вхождения буквы х, но эти новые вхождения на Ψ уже не заменяются!)

Пусть теперь Ф и Ψ – формулы ИВ, а А – некоторая его переменная. Тогда правило подстановки r₂ формулируется так:

r₂ (Ф) = S А _ Ф.

Очевидно, что это – “параметрическое” правило; иными словами, имеется целое семейство правил подстановки, зависящее от двух параметров, переменной А и формулы Ψ. Применять можно любое из них.

Пример формального вывода в ИВ

Мы построим т.н. комментированный вывод, указывая справа в скобках основания, по которым та или иная формула занимает в нашем выводе соответствующее место.

Ф1: А  (В  А) (акс. А1)

Ф2: (А  (В  С))  ((А  В)  (А  С))) (акс. А2)

Согласно данным определениям, наш вывод является выводом формулы А А. Построив этот вывод, мы доказали, что

Отсюда немедленно следует, что, какова бы ни была формула  в ИВ,

(достаточно только что построенный вывод дополнить еще одним применением правила подстановки).

Отметим некоторые свойства выводов (их доказательства представляются очевидными). Хотя мы формулируем их в разделе, посвященном ИВ, они справедливы для любого формального исчисления.

Всякий вывод открывается одной из аксиом.

Начальный отрезок всякого вывода является выводом. т.е., если

выводы, то и последовательность

4. Свойство 3 говорит, что, приписав один вывод за другим, мы получим снова вывод. Это утверждение можно обобщить: пусть Ф₁, …, Ф_n и ₁, …, _m – выводы; тогда всякая последовательность

для которой из того, что

следует, что i´ < j´, сама является выводом.

Формула A называется выводимой из множества формул Г(следствием множества формул Г) в данной теории, если существует последовательность A₁. A_n формул такая, что A_n есть A и для любого i формула A_i есть либо аксиома, либо одна из формул множества Г, либо непосредственное следствие предыдущих формул последовательности по одному из правил вывода. В этом случае последовательность формул A₁. A_n называется выводомформулы A из Г. Формулы множества Г называются гипотезами (допущениями, посылками) вывода.

Для сокращения записи утверждения «A есть следствие множества формул Г» употребляется обозначение . Если множество Г конечно, Г=<B₁. B_n>, то вместо <B₁. B_n> пишут B₁. B_n. Если Г- пустое множество (вывод является доказательством), то пишут , что равнозначно утверждению «A есть теорема».

Правила вывода можно подразделить на общие (работающие в любых аксиоматических теориях) и частные (работающие в теориях определенного типа). Приведем несколько общих правил, применяемых для построения доказательств и выводов в любых теориях.

Правило повторения посылки: .

Правило введения посылки: если , то .

Правило удаления посылки: если и , то .

Правило силлогизма: если то .

Таблицы истинности

1) определить число строк таблицы m = 2 n , где n — число переменных в логическом выражении;
2) определить число столбцов таблицы как сумму чисел логических переменных и логических операций в логическом выражении;
3) установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов операций;
4) заполнить строку с заголовками столбцов таблицы истинности, занеся в неё имена логических переменных и номера выполняемых логических операций;
5) выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой ряд целых n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n — 1;
6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции.

Пример 1. Построим таблицу истинности для логического выражения

В этом выражении две логические переменные и пять логических операций. Всего в таблице истинности будет пять строк (22 плюс строка заголовков) и 7 столбцов.

Начнём заполнять таблицу истинности с учётом следующего порядка выполнения логических операций: сначала выполняются операции отрицания (в порядке следования), затем операции конъюнкции (в порядке следования), последней выполняется дизъюнкция.

Обратите внимание на последний столбец, содержащий конечный результат. Какой из рассмотренных логических операций он соответствует?

Логические выражения, зависящие от одних и тех же логических переменных, называются равносильными или эквивалентными, если для всех наборов входящих в них переменных значения выражений в таблицах истинности совпадают.

Таблица истинности, построенная в предыдущем примере, доказывает равносильность выражений

С помощью таблиц истинности докажите равносильность выражений

Функцию от n переменных, аргументы которой и сама функция принимают только два значения — 0 и 1, называют логической функцией. Таблица истинности может рассматриваться как способ задания логической функции.

19.2. Анализ таблиц истинности

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Известен фрагмент таблицы истинности для логического выражения F, содержащего логические переменные А, В и С.

Сколько из приведённых ниже логических выражений соответствуют этому фрагменту?

1) (A v С) & B;
2) (A v B) & (С ? А);
3) (А & B v С) & (B ? А & С);
4) (А ? B) v (С v А ? B).

Ответить на поставленный вопрос можно, вычислив значение каждого логического выражения на каждом заданном наборе переменных и сравнив его с имеющимся значением F.

1) Логическое выражение (A v С) & В соответствует данному фрагменту таблицы истинности:

2) Логическое выражение (A v В) & (С ? А) не соответствует данному фрагменту таблицы истинности, т. к. уже на первом наборе значение рассматриваемого логического выражения не совпадает со значением F. Проведение дальнейших вычислений не имеет смысла.

3) Логическое выражение (А & В v С) & (В ? А & С) не соответствует данному фрагменту таблицы истинности:

4) Логическое выражение (А ? В) v (С v А ? В) соответствует данному фрагменту таблицы истинности:

Итак, имеется два логических выражения, соответствующих заданному фрагменту таблицы истинности.

Можно ли утверждать, что в результате решения задачи мы нашли логическое выражение F?

Пример 3. Логическая функция F задаётся выражением:

Ниже приведён фрагмент таблицы истинности, содержащий все наборы переменных, на которых F истинна.

Определим, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных х, y > z.

В исходном логическом выражении задействовано три логические переменные. Полная таблица истинности для этого выражения должна состоять из 8 (2 3 ) строк.

Наборам переменных, на которых логическое выражение истинно, соответствуют десятичные числа 0, 2, 3, 4 и 7.

Следовательно, наборам переменных, на которых логическое выражение ложно, должны соответствовать десятичные числа 1, 5 и 6 (их двоичные коды 001, 101 и 110). Построим по этим данным вторую часть таблицы истинности:

Теперь выясним, при каких значениях х, у, z логическое выражение ложно:

Логическое произведение ложно, если хотя бы один из операндов равен нулю. Таким образом, мы имеем две дизъюнкции, каждая из которых должна быть ложной. Это возможно только в случае равенства нулю каждого из операндов, входящих в дизъюнкцию. Подберём подходящие значения х, у и z, заполняя следующую таблицу:

Первая дизъюнкция равна нулю на наборе 011. Для равенства нулю второй дизъюнкции требуется, чтобы х = 1, у = 0, а z может быть и 0, и 1.

Сравним эту таблицу с восстановленным нами фрагментом исходной таблицы истинности, предварительно подсчитав, сколько раз каждая переменная принимает единичное значение.

Переменная у принимает единичное значение только один раз. Следовательно, ей соответствует второй столбец исходной таблицы. Из таблицы со значениями х, у и z следует, что при у = 1: х = 0, а z = 1. Следовательно, переменной z соответствует первый столбец, а переменной х — третий столбец исходной таблицы.

Убедиться в правильности полученного ответа можно, полностью заполнив следующую таблицу:

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Таблицу значений, которые принимает логическое выражение при всех сочетаниях значений (наборах) входящих в него переменных, называют таблицей истинности логического выражения.

Истинность логического выражения можно доказать путём построения его таблицы истинности.

Функцию от п переменных, аргументы которой и сама функция принимают только два значения — 0 и 1, называют логической функцией. Таблица истинности может рассматриваться как способ задания логической функции.