Дискретное управление что это

17

Дискретные системы автоматического управления

Дискретные системы автоматического управления – это класс систем управления, в которых как минимум один элемент преобразует непрерывный сигнал в дискретный.

Основой процесса управления в любой системе автоматического управления является передача, получение и преобразование сигналов, которые действуют в системе, с целью формирования требуемого изменения управляющего воздействия. В зависимости от способа преобразования системы автоматического управления делятся на дискретные и непрерывные. В непрерывных системах автоматического управления каждое мгновенное значение сигнала преобразуется и передается на выходах и входах всех элементов. Процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный называется квантованием, которое осуществляется при помощи дискретных элементов.

Способы квантования сигналов. Виды дискретных систем автоматического управления

Существуют три основных способа квантования сигналов в дискретных системах автоматического управления:

1. По времени.
2. По уровню.
3. По уровню и времени.

В случае квантования по уровню осуществляется фиксация значений непрерывного сигнала в моменты достижения им равностоящих уровней. Как правило, в интервалах между фиксациями значение выходного дискретного сигнала постоянно. Поэтому при квантовании по уровню сигнал обладает ступенчатым характером, то есть является дискретным по уровню и непрерывным по времени. Квантование по уровню происходит при помощи релейных элементов. В случае квантования по времени фиксация значений непрерывного сигнала осуществляется через равные промежутки времени. В данном случае дискретные сигналы подвергаются скачкообразным изменениям через установленные временные промежутки. Такой временной промежуток называется периодом квантования, тактом дискретной системы автоматического управления или периодом дискретности. Квантование по времени осуществляется при помощи идеальных импульсных элементов.

В случае квантования по времени и уровню происходит фиксация значений непрерывного сигнала через равные временные промежутки, при этом значение сигнала берется равным ближайшему фиксированному уровню. Примером дискретного элемента, который осуществляет квантование по уровню и времени является цифровая вычислительная машина. Если при осуществлении квантования по времени, а также по уровню и времени в интервалах времени фиксировать значения дискретного сигнала, то получится сигнал ступенчатой формы. Из перечисленных способов квантования следует следующее. Квантование по времени представляет собой линейную операцию, а квантование по уровню – нелинейную. В зависимости от используемого способа квантования непрерывного сигнала дискретные системы автоматического управления делятся на:

1. Импульсные.
2. Цифровые.
3. Релейные.

Для релейных систем автоматического управления характерно квантование по уровню, и они относятся к классу нелинейных систем. Для импульсных систем характерно квантование по времени, а для цифровых – квантование по уровню и времени. Цифровые и импульсные систему автоматического управления могут быть линейными и нелинейными. В зависимости от характера изменения задающего воздействия дискретные системы автоматического управления делятся на следящие системы, системы стабилизации и системы программного регулирования.

Исследование динамики дискретных систем может осуществляться с использованием переменных состояния, или с использованием выходных и входных переменных систем. В первом случае исследование проводится во временной области, посредством рассмотрения системы разностных уравнений и анализа свойств ее решений. Данный подход и разработанные в рамках его методы весьма плодотворны. Данные методы позволяют рассматривать многомерные нелинейные системы. Во втором случае исследуется не весь набор переменных состояния, а только поведение некоторых величин, согласно изменениям которых оценивается качество дискретной системы автоматического управления — выходные переменные системы. В некоторых случаях, в задачу исследования могут входить анализ зависимости выходных переменных от выходных величин, решение вопроса о том, как придать рассматриваемой системе необходимые свойства по данным переменным. Самым распространенным и простым математическим аппаратом для описания линейных импульсных систем является аппарат дискретного преобразования Лапласа и Z-преобразование, который позволяет получить уравнение системы автоматического управления в изображениях и найти дискретные передаточные функции.

Чем отличается дискретное управление от пропорционального?

Если возможно, дайте ссылки на научную литературу в текстовых/графических форматах.

Основы управления достаточно подробно излагаются в учебниках по электронике, электротехнике. Но преподаватель может потребовать, чтобы студент сдавал экзамен только по учебнику такому-то. Поэтому лучше спрашивать у своего преподавателя.

Что касается отличий, то коротко — пропорциональное управление, это непрерывное отслеживание и непрерывное реагирование на изменение параметра (параметров). А дискретное, это когда реакция эпизодическая и "порциями".

Примеры.

Перестройка радиоприемника (аналогового) по диапазону, регулировка давления в контуре привода тормозной системы автомобиля, стабилизация ракеты по вертикали во время взлета — это пропорциональное управление.

Переключение диапазонов радиоприемника, автопереключение скоростей в автоматической коробке передач автомобиля, управление нагревом утюга с помощью термопереключателя — это примеры дискретного управления.

Ну и, конечно, часто встречаются "переходные" случаи, когда реакция системы определяется как пропорциональная, хотя на самом деле она чисто дискретная, но "шаги" управления настолько мелкие, что практический результат кажется плавным и пропорциональным. Примером этого служат цифровые системы управления, где уровней квантования может быть настолько много, что можно считать (по результату) систему как регулируемую пропорционально (хотя и цифровыми методами).

Два примера цифрового управления.

1. Источник питания импульсного типа (компьютера, например), который регулирует выходное напряжение "вроде как аналоговым пропорциональным методом" (но это если не знать его внутреннего устройства). Но исследование выходного напряжения осциллографом покажет множество коротких импульсов, указывающих на дискретность регулировки.
2. Цифровые системы кодирования звука и управления(ЦАП и АЦП), где сигнал чисто аналоговый и даже приборы (осциллограф) могут не обнаружить никакой дискретности в выходном сигнале, хотя на самом деле система цифровая, дискретная, просто кванты настолько малы и так тщательно отфильтрованы, что производят впечатление аналогового пропорционального устройства. (Опять же, если не знать схемы и принципа функционирования).

Кстати, усилители класса "D", которые сейчас широко применяются в "домашних кинотеатрах", как раз ярко иллюстрируют возможности цифрового дискретного управления, по результату не отличимого от аналогового, пропорционального.

Дискретная система управления

ДИСКРЕТНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ — импульсная система управления, система управления, в к рой между двумя или больше её элементами информация передаётся последовательностью импульсных сигналов. Применяется, напр., в телемеханич. системах, в станках с программным управлением и др.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Система управления складом — (сокр. от англ. Warehouse Management System  система управления складом)  система управления, обеспечивающая автоматизацию и оптимизацию всех процессов складской работы профильного предприятия. Содержание … Википедия

система — Группа взаимодействующих объектов, выполняющих общую функциональную задачу. В ее основе лежит некоторый механизм связи. [ГОСТ Р МЭК 61850 5 2011] система Набор элементов, которые взаимодействуют в соответствии с проектом, в котором элементом… … Справочник технического переводчика

Система — [system] множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определенную целостность, единство. Следует отметить, что это определение (взятое нами из Большой Советской Энциклопедии) не является ни единственным … Экономико-математический словарь

ИМПУЛЬСНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЁНИЯ — то же. что дискретная система управления … Большой энциклопедический политехнический словарь

ФЕРп 2001-02: Автоматизированные системы управления (редакция 2008 г.). Автоматизированные системы управления. Федеральные единичные расценки на пусконаладочные работы — Терминология ФЕРп 2001 02: Автоматизированные системы управления (редакция 2008 г.). Автоматизированные системы управления. Федеральные единичные расценки на пусконаладочные работы: Автоматизированная система АС Система, состоящая из персонала и… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГЭСНп 2001-02: Автоматизированные системы управления (редакция 2008 г.). Автоматизированные системы управления. Государственные элементные сметные нормы на пусконаладочные работы — Терминология ГЭСНп 2001 02: Автоматизированные системы управления (редакция 2008 г.). Автоматизированные системы управления. Государственные элементные сметные нормы на пусконаладочные работы: Автоматизированная система АС Система, состоящая из… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГЭСНп 81-04-02-2001: Государственные элементные сметные нормы на пусконаладочные работы. Сборник 2. Автоматизированные системы управления (издание 2008 г. с учетом изменений и дополнений) — Терминология ГЭСНп 81 04 02 2001: Государственные элементные сметные нормы на пусконаладочные работы. Сборник 2. Автоматизированные системы управления (издание 2008 г. с учетом изменений и дополнений): Автоматизированная система АС Система,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ТЕРп 81-04-02-2001 Ростовская область: Территориальные единичные расценки на пусконаладочные работы в Ростовской области. Сборник 2. Автоматизированные системы управления — Терминология ТЕРп 81 04 02 2001 Ростовская область: Территориальные единичные расценки на пусконаладочные работы в Ростовской области. Сборник 2. Автоматизированные системы управления: Автоматизированная система АС Система, состоящая из персонала … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ТЕРп Калининградской области 2001-02: Автоматизированные системы управления. Территориальные единичные расценки на пусконаладочные работы в Калининградской области — Терминология ТЕРп Калининградской области 2001 02: Автоматизированные системы управления. Территориальные единичные расценки на пусконаладочные работы в Калининградской области: Автоматизированная система АС Система, состоящая из персонала и… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

6. Дискретные системы управления

Дискретные системы отличаются от непрерывных систем тем, что сигналы в одной или нескольких точках таких систем представляют собой последовательность импульсов или цифровой код. В литературе к таким системам применяются еще термины: «импульсные системы», «цифровые системы» [1].

Дискретные сигналы (импульсы, цифровой код) получаются из непрерывных (аналоговых) сигналов квантованием по уровню (релейные системы), по времени (импульсные системы) или одновременно и по уровню, и по времени (цифровые системы) [1].

Системы, в структуре которых используются цифровые устройства, контроллеры, микропроцессоры, вычислительные комплексы, являются дискретными. Примерами дискретных систем управления являются системы, использующие в контуре управления цифровые регуляторы. Непрерывный сигнал, поступающий на вход такого регулятора, преобразуется в последовательность импульсов. Эта последовательность в соответствии с законом регулирования преобразуется в другую последовательность, которая превращается в непрерывный сигнал регулятора.

Непрерывная система с цифровым регулятором:

где: АЦП – аналогово-цифровой преобразователь;

ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь.

Цифровая система управления:

ЭВМ (Устройство управления)

цифровой код выход

Примеры дискретных систем: система управления движением робота, система автономного слежения за целью, автопилот, цифровой контроллер турбины и генератора, радарные системы и др.

Дискретные системы обладают следующими преимуществами по сравнению с непрерывными системами:

меньшими габаритными размерами и массой;

6.2. Математические модели линейных дискретных систем

Модели состояния дискретной системы

Математические модели дискретных систем описывают поведение этих систем только в квантованные моменты времени t_k, k = 0, 1, 2,…. .

Дискретным представлением непрерывных сигналов u(t), y(t) и координат состояния x(t) являются последовательности:

Математические модели дискретных систем устанавливают взаимосвязь между этими последовательностями.

Дискретные системы содержат в своей структуре цифровую (дискретную) и непрерывную (аналоговую) части. Для согласования этих частей в системе используются: АЦП – аналогово-цифровой преобразователь и ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь.

Преобразователь «аналог — цифра» — идеальный импульсный элемент, ставящий в соответствие непрерывной функции f(t) при t ≥ t₀ последовательность: k ), k = 0, 1, 2,….> = f * (t).

Преобразователь «цифра — аналог» осуществляет преобразование последовательности: k ), k = 0, 1, 2,….> в некоторую непрерывную функцию f ^ (t), которая является аппроксимацией исходной:

Наиболее часто используют кусочно-постоянную аппроксимацию (такой преобразователь называется экстраполятором или фиксатором нулевого порядка).

Построение дискретного представления непрерывной системы называется дискретизацией (квантованием).

Пусть линейная непрерывная стационарная система n-го порядка представлена своей внутренней моделью [2]:

X’(t) = A * X(t) + B * U(t)

Предположим, что все переменные квантуются синхронно с постоянным шагом: ˅k, _tk+1 – t_k = h

Поэтому: t_k = k h, k = 0, 1, 2,….

При этом обозначения эквивалентны:

В общем случае на текущий момент времени t для непрерывной системы (A,B,C), которая движется из начального состояния x(t_k), можно записать в форме Коши:

Так как преобразователь «цифра — аналог» является фиксатором нулевого порядка, то на любом интервале [t_k,t_k+1) управление сохраняет свое значение U(k), поэтому на интервале [0,t₁) состояние х(1) равно:

Все интегралы, стоящие в скобках равны. Сделав две замены переменных: z = τ – kh, h – z = θ, получим:

Обозначив:

получим уравнения состояния системы в квантованные моменты времени (дискретную внутреннюю модель системы):

x(k+1) = M * x(k) + N * U(k)

Эта модель при известной входной последовательности:

позволяет, выполнив итерации, найти решение:

x(2) = M*x(1) + N*U(1) = M 2 *x(0) + M*N*U(0) + N*U(1);

x(3) = M*x(2) + N*U(2) = M 3 *x(0) + M 2 *N*U(0) + M*N*U(1)+ N*U(2);

x(k) = M k *x(0) + M k-1 *N*U(0) + M k-2 *N*U(1)+ …. + N*U(k-1)

Матрицы дискретной модели системы M, N, C – матрицы состояния, входа и выхода.

Разностные уравнения

Пусть непрерывная модель представлена своей внешней моделью в виде дифференциального уравнения:

При малом шаге квантования дискретизация этой модели выполняется с необходимой точностью путем замены дифференциалов конечными разностями:

Дискретная внешняя модель системы имеет конечно-разностный вид:

Этот вид после соответствующих алгебраических преобразований принимает рекуррентную форму:

где α_j, j=0, 1, 2. n – коэффициенты модели.

Рассмотрим разомкнутую систему, состоящую из импульсного элемента и непрерывной части. Передаточную функцию непрерывной части обозначим через W₀(s). Импульсный элемент условно заменен последовательным соединением ключа и некоторого устройства с передаточной функцией Wф(s). Ключ периодически замыкается с периодом Т и выделяет из непрерывного сигнала U(t) его мгновенные значения U(kT).

(t)U(kT)U*(t)y(t)

T T y(kT)

U(kT) = U(k), y(kT) = y(k) – решетчатые функции

Аналогом первой производной непрерывной функции для любой последовательности f(k) служит конечная разность первого порядка или первая разность:

Она определяется в момент времени t = kT как разность между будущим значением последовательности при t = (k+1)T и текущим значением при t = kT.

Аналогом второй производной непрерывной функции для последовательности является разность второго порядка или вторая разность:

В общем случае для n-ой разности:

(5) где:

В качестве аналога дифференциального уравнения в математических моделях дискретных систем рассматривается уравнение в конечных разностях. Применительно к нашей системе оно имеет следующий вид:

(6),

При исследовании дискретных систем удобнее пользоваться таким уравнением, которое называется разностным (получается из (6) с учетом (5)):

(7)

Уравнение (7) можно представить в виде:

(8)

Общее решение неоднородного разностного уравнения (7) или (8) как и решение неоднородного дифференциального уравнения, представляется в виде суммы переходной и вынужденной составляющих.

Переходная составляющая определяется следующим образом:

(9)

где: z_υ (υ = 1, 2,…, n) – некратные корни характеристического уравнения, которое получается из (7):

Из выражения (9) получается условие затухания свободного движения системы, описываемой разностным уравнением (7), т.е. условие устойчивости:

Решение разностного уравнения y(k) дает значение выходной величины лишь в дискретные моменты времени t = kT. Во многих случаях этого вполне достаточно для суждения о поведении системы.

Восстановление сигнала по дискретным выборкам

Во всех практических случаях невозможно точно восстановить непрерывный сигнал, если он квантован по времени; поэтому производят как можно более точную аппроксимацию исходной функции. Задача восстановления сигнала заключается в том, чтобы при имеющемся ряде чисел: f(0), f(T),…, f(kT) или последовательности импульсов с амплитудой равной f(kT) в момент времени t = kT (k = 0, 1, 2…) восстановить непрерывный сигнал f(t) при t ≥ 0 по информации, содержащейся в дискретных данных. Этот процесс рассматривается как процесс экстраполяции (непрерывные сигнал может быть восстановлен на основании информации, доступной только в предшествующие моменты выборки). Например, исходный сигнал f(t) между двумя моментами выборки kT и (k+1)T должен оцениваться на основании значении f(t) во все предшествующие моменты выборки: kT, (k-1)T, (k-2)T, …, 0 по значениям f(kT), f[(k-1)T],

Метод получения требуемой аппроксимации основан на разложении f(t) в ряд на интервале между моментами выборки kT и (k+1)T:

(10)

Оценка первой производной f(t) в момент t = kT равна:

Аналогично для второй производной f’’(kT) запишем:

где: f’[(k-1)T] = 1/T [ f[(k-1)T] – f[(k-2)T] ]

Из полученных выражений для f’(kT) и f’’(kT) видно, что чем выше порядок производной функции, которую нужно аппроксимировать, тем требуется большее число предшествующих выборок. Так для аппроксимации значения f n (kT) число предшествующих выборок равно n+1.

На практике используется только первое слагаемое выражения (10), так как экстраполяция (восстановление) высокого порядка затратна при реализации устройств и требует сложных схемотехнических решений.

Устройство, в котором реализовано только слагаемое f(kT) из выражения (10) для временного интервала kT ≤ t < (k+1)T называют экстраполятором (фиксатором: оно фиксирует значение предыдущей выборки в течение периода квантования до следующей выборки) нулевого порядка (используемый полином имеет нулевой порядок).

Устройство, использующее два слагаемых выражения (10) называется фиксатором 1-го порядка и т.д.

Для фиксатора нулевого порядка:

Переходная функция фиксатора нулевого порядка равна:

h(t) = 1(t) – 1(t-T), где Т – период квантования.

Передаточная функция фиксатора нулевого порядка определяется:

Выходной сигнал фиксатора нулевого порядка является ступенчатой аппроксимацией непрерывного сигнала, при этом с увеличением частоты (уменьшением периода) квантования повышается точность этой аппроксимации.

Использование Z-преобразования

Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Оно играет ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем.

Преобразование Лапласа квантованного сигнала определяется выражением:

Функция F*(s) является иррациональной, поскольку содержит множитель e — Ts . Из-за этого множителя возникают трудности в вычислении обратного преобразования Лапласа. Поэтому для преобразования функции F*(s) в рациональную функцию комплексную переменную s заменяют на комплексную переменную z: z = e Ts . Тогда:

Для любой функции f(t), имеющей преобразование Лапласа, существует также Z-преобразование.

Преобразование Лапласа и его обратное преобразование являются однозначными, для Z-преобразования обратное Z-преобразование не является однозначным.

Корректным результатом обратного Z-преобразования функции F(z) является функция f(kT), которая равна функции f(t) только в моменты квантования t = kT.

Основные свойства Z-преобразования (без доказательств)

Суммирование и вычитание:

Если функции f1(t) и f2(t) имеют Z-преобразования:

То выполняется следующее равенство:

Умножение на константу:

Если функция F(z) есть Z[f(t)], то:

Сдвиг во временной области:

Если функция f(t) имеет Z-преобразование, то:

Где: n – положительное целое число.

Умножение оригинала на экспоненту:

Теорема о начальном и конечном значении:

Если f(t) имеет Z-преобразование F(z) и существует предел: lim F(z) при z→∞, то:

Если функция (1-z -1 )F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса |z| =1или вне ее на Z-плоскости:

Ограничения метода Z-преобразования:

время квантования должно быть намного меньше определяющей постоянной времени системы;

Z-преобразование выходного сигнала линейной системы определяет значения функции f(t) только в моменты квантования и не содержит информацию о значениях функции f(t) между моментами квантования;

При анализе линейной системы методами Z-преобразования передаточная функция непрерывной системы W(s) должна иметь полюсов, по крайне мере, на один больше, чем нулей (должна быть строго правильной функцией) для отсутствия разрыва в импульсной переходной характеристики при t = 0.

Передаточные функции дискретной системы

Дискретным аналогом оператора дифференцирования непрерывных функций d/dt является оператор сдвига вперед R, определяющийся соотношением:

Инверсией оператора сдвига вперед является оператор сдвига назад R -1 :

Оператор R -1 – дискретный аналог оператора интегрирования.

Пусть модель дискретной системы с одним входом и одним выходом представлена разностным уравнением общего вида:

Запишем это уравнение в операторной форме:

Теперь модель дискретной системы принимает следующий вид:

или

где: H(R) – дискретная операторная передаточная функция системы.

Пусть дискретная система имеет векторный вход и векторный выход, и описывается матричной моделью состояний [2]:

x(k+1) = M * x(k) + N * U(k)

Применим к этой модели оператор сдвига вперед, получим:

x(k) = (R*E – M) -1 * N * U(k)

y(k) = C * (R*E – M) -1 * N * U(k)

H(R) = C *(R*E – M) -1 * N – матричная дискретная операторная передаточная функция системы.

Применим Z-преобразование к матричной модели состояний, получим:

Z[x(k+1)] = Z[ M * x(k) + N * U(k)]

z (X(z) – X(0)) = M * X(z) + N * U(z)

где: X(z) = Z[x(k)]; Y(z) = Z[y(k)]; U(z) = Z[U(k)]

X(z) = (z*E – M) -1 * [z *x(0) + N * U(z)]

Y(z) = C *(z*E – M) -1 * z *x(0) + C *(z*E – M) -1 * N * U(z)]

По аналогии с непрерывными системами введем понятие передаточной функции. Пусть дискретная система в начальный момент была в покое: x(0)=0; тогда:

Y(z) = C *(z*E – M) -1 * N * U(z)]

где: H(z) = C *(z*E – M) -1 * N – передаточная функция дискретной системы.

Связь между функциями H(R) и H(z): замена оператора R на переменную z, если в начальный момент система была в покое.

(t)x*(t)y(t)

T T y*(t)

Где: X*(s)- преобразование Лапласа дискретного сигнала

(11)

Если выходной сигнал системы непрерывный, то выражение (11) определяет выходной сигнал Y(z) только в моменты квантования.

W(z) – дискретная передаточная функция линейной системы. Она связывает Z-преобразование входного сигнала X(z) с Z-преобразованием выходного сигнала Y(z) подобно тому, как передаточная функция непрерывной системы W(s) связывает изображения Y(s) и X(s). В выражении (11) Z-преобразование определяет непрерывный сигнал y(t) только в дискретные моменты времени t = kT. В большинстве случаев потеря информации между моментами квантования не имеет значения. В других случаях, если в сигнале y(t) между моментами квантования содержатся колебания большой амплитуды, метод Z-преобразования дает неправильные результаты.

Дискретная система с последовательным соединением звеньев:

(t) x*(t) y₁(t) y1*(t) y(t)

T y*(t)

T

T y*(t)

T

Взаимосвязь моделей системы

Пусть дискретная система содержит непрерывную часть, заданную передаточной функцией W(s) или матрицами состояния А, В, С.

Моделями дискретной системы являются передаточная функция W(z) или матрицы M, N, C. На вход непрерывной системы поступает единичный ступенчатый, однако чтобы это обеспечить необходимо на вход ЦАП подавать импульсную последовательность: U(kT) = 1, k = 0, 1, 2, ….

Z-преобразование этой последовательности:

Преобразование Лапласа реакции непрерывной части системы, передаточная функция которой равна W(s), на единичное ступенчатое воздействие равно W(s) / s.

Выходной сигнал непрерывной системы проходит через АЦП и превращается в последовательность импульсов y(kT), k = 0, 1, 2, … , которая является реакцией Y(z) на входное единичное дискретное воздействие U(kT)=1, k =0, 1, 2, ……

С другой стороны:

Значит, искомая передаточная функция дискретной системы определяется:

Ранее было установлено, что передаточная функция фиксатора нулевого порядка определяется как:

Z-преобразование W₀(s) равно:

Это очевидно, так как фиксатор нулевого порядка в течение периода квантования удерживает постоянным дискретный сигнал, полученный в результате выборки. В том случае, если за фиксатором нулевого порядка следует непрерывная часть системы с передаточной функцией W(s), Z-преобразование выходного сигнала равно:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. — СПб.: Профессия, 2003. — 752 с.