2.2. Демодуляция сигналов
Демодуляция АМ-сигналов может выполняться несколькими способами. Самый простейший способ – двухполупериодное детектирование (вычисление модуля сигнала) с последующим сглаживанием полученных однополярных импульсов несущей фильтром низких частот.
На рис. 12 приведен пример изменения однотонального амплитудно-модулированного сигнала при детектировании. Параметры представленного сигнала: несущая частота 30 Гц, частота модуляции 3 Гц, коэффициент модуляции М=1.
Рис. 12. Однотональный модулированный сигнал
и его изменение при детектировании
Как видно на рисунке, при детектировании модулированного сигнала, он становится однополярным, переходит на основную несущую частоту 2 и уменьшается по энергии почти в 5 раз. Основная часть энергии (более 4/5) трансформируется в область низких частот и распределяется между постоянной составляющей и выделенной гармоникой сигнала модуляции. Между постоянной составляющей и выделенной гармоникой энергия распределяется в зависимости от значения коэффициента модуляции М. При М=1 энергии равны, при М=0 (в отсутствие сигнала модуляции) вся энергия переходит в энергию постоянной составляющей.
Кроме этих составляющих появляются также 2-я, 3-я и более высокие гармоники детектированного модулированного сигнала. Энергия второй гармоники не превышает 2%, а остальных и вовсе незначительна.
Демодуляторы сигнала выделяют после детектирования только низкочастотный информационный сигнал и подавляют все остальные частоты, включая постоянную составляющую. Очевидно также, что в случае перемодуляции сигнала исходный информационный сигнал будет восстанавливаться с ошибкой.
Другой распространенный метод – синхронное детектирование. При синхронном детектировании модулированный сигнал умножается на опорное колебание с частотой несущего колебания. Без учета фазовых углов колебаний:
Как следует из этого выражения, сигнал разделяется на два слагаемых, первое из которых повторяет исходный модулирующий сигнал, а второе повторяет модулированный сигнал на удвоенной несущей частоте 2о. На рис. 13 приведено визуальное сопоставление двухполупериодного и синхронного детектирования, которое наглядно показывает практически полное подобие процессов. Но форма новой несущей при синхронном детектировании является чистой гармоникой, в отличие от двухполупериодного детектирования, где новая несущая волна явно содержит дополнительные гармоники более высоких частот.
Физический смысл амплитуды сигналов после демодуляции подобен спектру двухполупериодного детектирования, но однозначно соотносится со спектром входного модулированного сигнала: амплитуды гармоник модулированного сигнала на частоте 2о в два раза меньше амплитуд входного сигнала, постоянная составляющая равна амплитуде несущей частоты o и не зависит от глубины модуляции, амплитуда информационного демодулированного сигнала в 2 раза меньше амплитуды исходного модулирующего сигнала. Замечательной особенностью синхронного детектирования является полная независимость от глубины модуляции, т. е. коэффициент модуляции сигнала может быть больше 1.
При сдвиге фазы опорного колебания на относительно несущей частоты, выходной сигнал демодулятора оказывается умноженным на косинус фазовой ошибки:
Амплитуда сигнала снижается, а при =/2 становится равной нулю. При сдвиге частоты между несущим и опорным колебаниями сигнал демодулятора оказывается умноженным на гармоническое колебание с разностной частотой:
при этом выходной сигнал демодулятора начинает пульсировать (beat – биения) с частотой биений .
Рис. 13. Детектирование
Для частотной и фазовой синхронизации между несущим и опорным колебаниями в составе демодуляторов обычно используются следящие системы фазовой автоподстройки опорной частоты. Демодуляция сигналов с угловой модуляцией много сложнее демодуляции АМ сигналов.
Амплитудная модуляция [1,25]
Амплитудная модуляция (amplitude modulation, АМ) была первым видом модуляции, освоенным на практике. В настоящее время АМ применяется в основном только для радиовещания на низких частотах (не выше коротких волн) и для передачи изображения в телевизионном вещании. Это обусловлено низким КПД использования энергии модулированных сигналов.
АМ соответствует переносу информации s(t) Þ U(t) при постоянных значениях параметров несущей частоты w и фазы j. АМ – сигнал представляет собой произведение информационной огибающей U(t) и гармонического колебания ее заполнения. Форма записи амплитудно-модулированного сигнала:
где Um – постоянная амплитуда несущего колебания при отсутствии модулирующего сигнала s(t), М – коэффициент амплитудной модуляции.
Значение М характеризует глубину амплитудной модуляции. В простейшем случае, если модулирующий сигнал представлен одночастотным гармоническим колебанием с амплитудой So, то коэффициент модуляции равен отношению амплитуд модулирующего и несущего колебания М=So/Um. Значение М должно находиться в пределах от 0 до 1 для всех гармоник модулирующего сигнала. При значении М<1 форма огибающей несущего колебания полностью повторяет форму модулирующего сигнала s(t), что можно видеть на рис. 15.1.1. Малую глубину модуляции М<<1 для основных гармоник модулирующего сигнала применять нецелесообразно, т.к. при этом мощность передаваемого информационного сигнала будет много меньше мощности несущего колебания и мощность передатчика будет использоваться неэкономично.
Рис. 15.1.1. Модулированный сигнал. Рис. 15.1.2. Глубокая модуляция
| Рис. 15.1.3. Перемодуляция сигнала |
На рис. 15.1.2 приведен пример глубокой модуляции, при которой значение M стремится к 1. Стопроцентная модуляция (М=1) может приводить к искажениям сигналов при перегрузках передатчика, если он имеет ограниченный динамический диапазон по амплитуде несущих частот или ограниченную мощность передатчика (увеличение амплитуды несущих колебаний в пиковых интервалах сигнала U(t) в два раза требует увеличения мощности передатчика в четыре раза).
При М>1 возникает так называемая перемодуляция, пример которой приведен на рис. 15.1.3. Форма огибающей при перемодуляции искажается относительно формы модулирующего сигнала, и после демодуляции, если применяются ее простейшие методы, информация может быть искажена.
Однотональная модуляция. Простейшая форма модулированного сигнала создается при модуляции несущего сигнала гармоническим колебанием с одной частотой W:
Значения начальных фазовых углов несущего и модулирующего колебания для упрощения выражений будем принимать равными нулю, если они не имеет принципиального значения. С учетом формулы cos(x)×cos(y) = (1/2)[cos(x+y)+cos(x-y)], из выражения (15.1.3) получаем:
| Рис. 15.1.4. Физические спектры сигналов. |
Отсюда следует, что модулирующее колебание с частотой W перемещается в область частоты wo и расщепляется на два колебания, симметричные относительно частоты wo, с частотами соответственно (wo+W) — верхняя боковая частота, и (wo-W) — нижняя боковая частота (рис. 15.1.4 для сигнала, приведенного на рис. 15.1.1). Амплитуды колебаний на боковых частотах равны друг другу, и при 100%-ной модуляции равны половине амплитуды колебаний несущей частоты. Если получить уравнение (15.1.4) с учетом начальных фаз несущей и модулирующей частоты, то правило изменения фаз аналогично изменению частоты: начальная фаза модулирующего колебания для верхней боковой частоты складывается с начальной фазой несущей, для нижней – вычитаются из фазы несущей. Физическая ширина спектра модулированного сигнала в два раза больше ширины спектра сигнала модуляции.
Энергия однотонального АМ-сигнала. Обозначим раздельными индексами (нес — несущая, вб — верхняя боковая, нб — нижняя боковая) составляющие колебания в левой части выражения (15.1.4) однотональногоАМ-сигнала и определим функцию его мгновенной мощности:
Для определения средней мощности сигнала выполним усреднение функции p(t):
Все взаимные мощности модулированного сигнала при усреднении становятся равными нулю (спектры не перекрываются), при этом:
Доля мощности боковых частот в единицах мощности несущей частоты:
т.е. не превышает 50% даже при 100%-ной модуляции.
Под полезной мощностью модулированных сигналов понимают мощность боковых частот, несущих информацию. Коэффициент полезного действия модуляции определяется отношением мощности боковых частот к общей мощности модулированного сигнала:
 Рис. 15.1.5. |
Как можно видеть на рис. 15.1.5, даже при М=1 КПД амплитудной модуляции составляет только 33%, а при практическом использовании обычно меньше 20%.
Для модулированных сигналов применяют также понятие пиковой мощности Pmax. Значение пиковой мощности для однотонального АМ-сигнала:
Многотональный модулирующий сигнал имеет произвольный спектральный состав. Математическая модель такого сигнала может быть аппроксимирована тригонометрической суммой гармонических составляющих, в пределе бесконечной:
где значения амплитуд an и начальных фаз Fn упорядоченной возрастающей последовательности гармоник Wn произвольны. Подставляя (15.1.9) в (15.1.2) и заменяя произведения M·an парциальными (частичными) коэффициентами модуляции Mn = M·an, получим обобщенное уравнение амплитудно-модулированного сигнала и его физического спектра:
| Рис. 15.1.6. Многотональная модуляция. |
На рис. 15.1.6 приведен схематический пример амплитудных спектров модулирующего и АМ-сигналов при многотональной модуляции. Он также содержит полосы верхних и нижних боковых частот относительно несущей частоты wo, являющихся прямой и зеркальной масштабными копиями модулирующего сигнала. Полная ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенной ширине спектра модулирующего сигнала.
Пример. Частотный диапазон одного километра каротажного кабеля 0-200 кГц. Частотный диапазон измерительных датчиков скважинного прибора 0-5 кГц. От какого количества датчиков одновременно может передаваться информация по данному каротажному кабелю?
Минимальная несущая частота должна быть на порядок выше максимальной частоты модулирующего сигнала, т.е. порядка 50 кГц. Для передачи сигнала от одного датчика потребуется полоса частот 2×5 = 10 кГц плюс пустой защитный интервал для исключения перекрестных помех порядка 1 кГц, т.е. 11 кГц. Общее количество каналов передачи информации: (200-50-5)/11 = 13 каналов.
В соответствии огибающей модулированного сигнала форме модулирующего сообщения нетрудно убедиться вычислением модуля аналитического сигнала z(t) = u(t) + (см. тему "Аналитические сигналы").
При u(t) = Um[1+Мn·s(t, n)] cos wo(t), квадратурное дополнение сигнала определяется преобразованием Гильберта и равно = Um[1+Мn·s(t, n)] sin wo(t). Огибающая сигнала:
Демодуляция АМ-сигналов может выполняться несколькими способами.
Самый простой способ – двухполупериодное детектирование (вычисление модуля сигнала) с последующим сглаживанием однополярных полупериодов несущей фильтром низких частот.
На рис. 15.1.8 приведен пример изменения однотонального амплитдно-модулированного сигнала и его физического спектра при детектировании (в реальной односторонней шкале частот и в реальной шкале амплитудных значений гармоник колебаний). Параметры представленного сигнала: несущая частота 30 Гц, частота модуляции 3 Гц, коэффициент модуляции М=1.
Рис. 15.1.8. Изменение однотонального модулированного сигнала при детектировании
Как видно на рисунке, при детектировании спектр модулированного сигнала становится однополярным, переходит на основную несущую частоту 2wo и уменьшается по энергии. Основная часть энергии (более 4/5) трансформируется в область низких частот и распределяется между постоянной составляющей и выделенной гармоникой сигнала модуляции в зависимости от значения коэффициента модуляции М. При М=1 энергии равны, при М=0 (в отсутствие сигнала модуляции) вся энергия переходит на постоянную составляющую.
Кроме этих составляющих в спектре появляются также 2-я, 3-я и более высокие гармоники детектированного модулированного сигнала (т.е. на частотах 4wo±W, 6wo±W, и т.д.), которые не показаны на рисунке. Энергия второй гармоники не превышает 2%, а остальных и вовсе незначительна. Демодуляторы сигнала выделяют после детектирования только низкочастотный информационный сигнал и подавляют все остальные частоты, включая постоянную составляющую (низкочастотный фильтр с подавлением постоянной составляющей).
Очевидно также, что в случае перемодуляции сигнала исходный информационный сигнал будет восстанавливаться с ошибкой.
Другой распространенный метод – синхронное детектирование. При синхронном детектировании модулированный сигнал умножается на опорное колебание с частотой несущего колебания. Без учета фазовых углов колебаний:
 Рис. 15.1.9. |
Как следует из этого выражения, сигнал разделяется на два слагаемых, первое из которых повторяет исходный модулирующий сигнал, а второе повторяет модулированный сигнал на удвоенной несущей частоте 2wо.
На рис. 15.1.9 приведено визуальное сопоставление двухполупериодного и синхронного детектирования, которое наглядно показывает практически полное подобие процессов. Но форма новой несущей при синхронном детектировании является чистой гармоникой, в отличие от двухполупериодного детектирования.
Физический амплитудный спектр сигналов после демодуляции однозначно соотносится со спектром входного модулированного сигнала: амплитуды гармоник модулированного сигнала на частоте 2wо в два раза меньше амплитуд входного сигнала, постоянная составляющая равна амплитуде несущей частоты wo и не зависит от глубины модуляции, амплитуда информационного демодулированного сигнала в 2 раза меньше амплитуды исходного модулирующего сигнала.
| Рис. 15.1.10. |
Замечательной особенностью синхронного детектирования является полная независимость от глубины модуляции, т.е. коэффициент модуляции сигнала может быть больше 1. Пример синхронного детектирования перемодулированного сигнала приведен на рис. 15.1.10.
Однако при синхронном детектировании требуется точное совпадение фаз и частот опорного колебания демодулятора и несущей гармоники АМ-сигнала. При сдвиге фазы опорного колебания на Dw относительно несущей частоты выходной сигнал демодулятора оказывается умноженным на косинус фазовой ошибки:
и амплитуда сигнала занижается, а при Dw=p/2 становится равной нулю.
При сдвиге частоты между несущим и опорным колебаниями сигнал демодулятора оказывается умноженным на гармоническое колебание с разностной частотой:
при этом выходной сигнал демодулятора начинает пульсировать с частотой биений (beat) Dw.
Для синхронизации опорного колебания с несущей частотой сигнала в составе демодуляторов используются следящие системы фазовой автоподстройки опорной частоты.
| Рис. 15.1.11. Балансная модуляция. |
Балансная амплитудная модуляция или АМ с подавлением несущей частоты (АМ-ПН).Как следует из вышеприведенных данных, основная доля мощности АМ – сигнала приходится на несущую частоту. При балансной модуляции производится перемножение двух сигналов – модулирующего и несущего, при котором происходит подавление несущего колебания и КПД модуляции становится равным 100%. Так, для однотонального сигнала при U(t) = M×cos Wt имеем:
т.е. однотональный модулирующий сигнал переносится на биения двух высоких частот. Пример сигнала с балансной модуляцией приведен на рис. 15.1.11. Амплитудный спектр сигнала подобен приведенному на рис. 15.1.4 с отсутствующей несущей частотой wo. Аналогично, многотональный балансно — модулированный сигнал имеет две симметричные относительно частоты wo группы верхних и нижних боковых колебаний:
Подавление несущей частоты определяется следующим. При переходе огибающей биений U(t) через нуль фаза несущей частоты высокочастотного заполнения скачком изменяется на 180 0 , поскольку функция косинуса огибающей имеет разные знаки слева и справа от нуля. При этом в высокодобротной системе (с малыми потерями энергии), настроенной на частоту wo, колебания, возбужденные одним периодом биений, гасятся последующим периодом.
Однако балансная модуляция не получила широкого распространения в связи с трудностями, возникающими при демодуляции сигналов. В принципе, синхронное детектирование позволяет выполнять демодуляцию без каких-либо проблем, но при условии известной несущей частоты сигнала и точной фазовой синхронизации опорной частоты с несущей. Но во входном сигнале АМ-ПН несущая частота отсутствует. Для снятия этой трудности обычно применяют неполное подавление несущей и оставляют в модулированном сигнале определенный "остаток" несущей (пилот-сигнал), который и используется для фазочастотной автосинхронизации при демодуляции.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Как демодулировать амплитудно-модулированный сигнал
На этом этапе мы знаем, что модуляция относится к преднамеренной модификации синусоиды, так чтобы она могла передавать низкочастотную информацию от передатчика к приемнику. Мы также рассмотрели множество деталей, относящихся к различным (амплитудному, частотному, фазовому, аналоговому, цифровому) методам кодирования информации в сигнале несущей.
Но зачем интегрировать данные в передаваемый сигнал, если мы не сможем извлечь эти данные из принятого сигнала; и именно поэтому нам необходимо изучить демодуляцию. Схемотехника демодуляции варьируется от чего-то столь же простого, как модифицированный пиковый детектор, до чего-то сложного, как когерентное квадратурное понижающее преобразование в сочетании со сложными алгоритмами декодирования, выполняемыми цифровым сигнальным процессором.
Создание сигнала
Для изучения методов демодуляции AM сигнала мы будем использовать LTspice. Но прежде чем демодулировать, нам понадобится модулированный сигнал.
В статье про AM модуляцию мы видели, что для генерации AM сигнала необходимы четыре вещи. Во-первых, нам нужны низкочастотный модулирующий сигнал и сигнал несущей частоты. Затем нам нужна схема, которая может добавить к низкочастотному сигналу соответствующее смещение по постоянному напряжению. И, наконец, нам нужен умножитель, поскольку математическая связь, соответствующая амплитудной модуляции, заключается в умножении смещенного низкочастотного сигнала на сигнал несущей.
Следующая схема LTspice будет генерировать AM сигнал.
- V1 – это источник синусоидального напряжения 1 МГц, который обеспечивает исходный низкочастотный сигнал.
- V3 создает синусоидальный сигнал несущей 100 МГц.
- Схема на операционном усилителе – это смещение по напряжению (она также уменьшает входную амплитуду вдвое). Сигнал, приходящий с V1, – это синусоида, изменяющаяся от –1 В до +1 В, а на выходе операционного усилителя мы получаем синусоиду, которая изменяется от 0 В до +1 В.
- B1 – это «источник напряжения с произвольным поведением». Его поле «value» содержит не константу, а формулу; в этом случае формула представляет собой смещенный низкочастотный сигнал, умноженный на сигнал несущей. Таким образом, B1 может использоваться для реализации амплитудной модуляции.
Ниже показан смещенный по напряжению низкочастотный сигнал.
Смещенный по напряжению низкочастотный модулирующий сигнал
А здесь вы можете видеть, как изменения амплитудно-модулированного сигнала согласуются с низкочастотным модулирующим сигналом (т.е. с оранжевым графиком, который в основном затенен синим графиком сигнала несущей).
Полученный амплитудно-модулированный сигнал
Увеличение масштаба по времени показывает отдельные периоды несущей частоты 100 МГц.
Полученный амплитудно-модулированный сигнал (увеличенный масштаб по оси времени)
Демодуляция
Как обсуждалось на странице амплитудной модуляции, операция умножения, используемая для реализации амплитудной модуляции, приводит к переносу спектра низкочастотного сигнала в полосы, окружающие положительную несущую частоту (+fнес) и отрицательную несущую частоту (–fнес). Таким образом, мы можем думать об амплитудной модуляции как о сдвиге исходного спектра вверх на величину fнес и вниз на величину fнес. Из этого следует, что умножение модулированного сигнала на несущую частоту будет возвращать спектр обратно в исходное положение, т.е. будет смещать спектр вниз на fнес таким образом, чтобы он снова был отцентрирован вокруг 0 Гц.
Вариант 1: умножение и фильтрация
Следующая схема LTspice включает в себя демодулирующий источник напряжения с произвольным поведением; B2 умножает AM сигнал на несущую.
Схема умножения AM сигнала на несущую
А вот результат:
Полученный сигнал
Он явно не выглядит правильным. Если мы увеличим масштаб, то увидим следующее:
Полученный сигнал (увеличенный масштаб по оси времени)
Это и раскрывает проблему. После амплитудной модуляции спектр низкочастотного сигнала центрирован вокруг +fнес. Умножение амплитудно-модулированного сигнала смещается спектр низкочастотного модулирующего сигнала вниз до 0 Гц, но также сдвигает его и до 2fнес (в данном случае 200 МГц), поскольку (как сказано выше) умножение перемещает существующий спектр вверх на величину fнес и вниз на величину fнес.
Понятно, что для правильной демодуляции недостаточно одного умножения. Нам необходимо умножение и фильтр нижних частот; фильтр будет подавлять спектр, сдвинутый до 2fнес. Следующая схема включает в себя RC фильтр нижних частот с частотой среза
Схема умножения AM сигнала на несущую и последующим фильтром нижних частот
И ниже показан демодулированный сигнал:
Демодулированный сигнал
Этот метод на самом деле более сложный, чем кажется, потому что фаза сигнала несущей частоты приемника должна быть синхронизирована с фазой несущей передатчика. Это обсуждается далее в пятой статье данной главы («Понятие квадратурной демодуляции»).
Вариант 2: пиковый детектор
Как вы можете видеть на графике, который приведен выше и показывает амплитудно-модулированный сигнал (синий) и смещенный низкочастотный модулирующий сигнал (оранжевый), положительная часть «огибающей» AM сигнала соответствует низкочастотному сигналу. Термин «огибающая» относится к изменениям амплитуды синусоиды несущей (а не к изменениям мгновенной величины самого сигнала). Если бы мы могли каким-то образом извлечь положительную часть огибающей AM сигнала, то могли бы восстановить низкочастотный сигнал без использования умножителя.
Оказывается, что это довольно легко, преобразовать положительную огибающую в обычный сигнал. Начнем с пикового детектора, который представляет собой только диод, за которым следует конденсатор. Диод проводит ток, когда входной сигнал минимум на
0,7 В выше напряжения на конденсаторе, в противном случае он действует как разомкнутая цепь. Таким образом, конденсатор поддерживает пиковое напряжение: если текущее входное напряжение ниже напряжения конденсатора, напряжение конденсатора не уменьшается, поскольку смещенный в обратном направлении диод предотвращает разряд.
Однако мы не хотим, чтобы пиковый детектор сохранял пиковое напряжение в течение длительного периода времени. Вместо этого нам нужна схема, которая сохраняет пик относительно высокочастотных колебаний сигнала несущей, но не сохраняет пик относительно низкочастотных изменений огибающей. Другими словами, нам нужен пиковый детектор, который удерживает пик только в течение короткого периода времени. Мы можем достичь этого, добавив параллельное сопротивление, которое позволяет конденсатору разряжаться (этот тип схемы называется «пиковый детектор с утечкой», где «утечка» относится к пути разряда, обеспечиваемому резистором). Сопротивление выбирается таким образом, чтобы разряд был достаточно медленным, чтобы сгладить несущую частоту, и достаточно быстрым, чтобы не сглаживать частоту огибающей.
Ниже приведен пример пикового детектора с утечкой для демодуляции AM сигнала:
Пиковый детектор с утечкой
Обратите внимание, что я усилил AM сигнал в пять раз, чтобы сделать входной сигнал пикового детектора большим по сравнению с прямым напряжением диода. Следующий график показывает общий результат, который мы пытаемся достичь с помощью пикового детектора с утечкой.
Полученный сигнал
Конечный сигнал показывает ожидаемую диаграмму заряда/разряда:
Заряд и разряд конденсатора пикового детектора
Для сглаживания этих колебаний может использоваться фильтр нижних частот.
Демодуляция AM-сигналов
Непрерывные виды модуляции характеризуются тем, что модулирующий сигнал в явном виде в модулированном сигнале не присутствует (он входит в состав колебания в виде сомножителя). Поэтому необходима операция, которая позволила бы в преобразованном сигнале получить из модулированного сигнала модулирующий сигнал в виде слагаемого, чтобы в дальнейшем с помощью фильтра его выделить. Операция выделения модулирующего сигнала называется детектированием.
Для демодуляции AM-сигналов применяют 2 вида детекторов: линейный и квадратичный. Линейный детектор описывается уравнением у = |jc|, квадратичный — у = х 2 ,
где у — функция на выходе детектора; х — функция на входе детектора.
Отмстим, что демодуляция осуществляется с помощью диода: при малом уровне входного сигнала получают квадратичный детектор, при- высоком уровне входного сигнала — линейный. Лучший результат получают при использовании линейного детектора.
Рассмотрим, что происходит с сигналом при использовании линейного детектора в случае подачи на него AM-модулированного сигнала вида
После линейного детектора этот сигнал будет иметь вид
Так как абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей, а абсолютная величина положительной величины равна самой положительной величине, выражение (5.7) примет вид
Рис. 5.8. Амплитутдный спектр AM-сигнала после линейного детектора
Поэтому после линейного детектора модулирующий сигнал можно выделить с помощью фильтра нижних частот с соответствующей полосой пропускания.
Рис. 5.9. Принципиальная схема линейного детектора АМ-сигнала
Рис. 5.10. Временные диаграммы работы линейного детектора при демодуляции амплитудно-модулированного сигнала: а — входной амплитудно-модулированный гармоникой сигнал; б — сигнал после детектора — диода; в — сигнал после фильтра нижних частот
Для представления |sin co0t воспользуемся формулой
тогда 
Поскольку т sin Qt не зависит от к, его можно внести под знак суммы и, воспользовавшись формулой из тригонометрии
получим окончательно: 
Таким образом, после линейного детектора имеем постоянную составляющую, модулирующий сигнал т sinQ/, второй член под знаком суммы представляет высокочастотные составляющие 2кюо, 2ксо„ + П, 2kwn— Q, которые нетрудно отделить с помощью фильтра. Спектр этого сигнала выглядит следующим образом (рис. 5.8).
На рис.5.9 приведена принципиальная схема выделения модулирующего сигнала, на рис. 5.10 — временные диаграммы.