Определение числа независимых узлов и контуров
Для определения числа независимых узлов и независимых контуров электрической цепи и, следовательно, числа независимых уравнений, составляемых на основании законов Кирхгофа, воспользуемся тем обстоятельством, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из входящих в систему уравнений отличалось от остальных хотя бы одной переменной.
Общее число линейно независимых уравнений, которые можно составить для произвольной цепи на основании законов Кирхгофа, оказывается равным числу ветвей рассматриваемой цепи:
1.5. Уравнение электрического равновесия цепей Основные задачи теории цепей
Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами.
Рис. 1.34
В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две группы задач: задачи анализа и задачи синтеза.
Задача анализа цепи состоит в определении реакции цепи s(t) на заданное внешнее воздействие x(t).
Задача синтеза цепи заключается в нахождении цепи по заданной реакции цепи s(t) на некоторое внешнее воздействие x(t).
В частном случае задача анализа может сводиться к нахождению соотношений между реакциями цепи на отдельных выходах sj(t) и воздействиями xi(t), приложенным к определенным входам. Такие соотношения называются характеристическими (системными функциями, функциями) цепи. В зависимости от того, какая величина — частота или время — является аргументом в выражениях, описывающих соотношения между откликом и внешним воздействием, различают частотные и временные характеристики цепи.
Понятие об уравнениях электрического равновесия
Математически задача анализа электрической цепи сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений, в которых в качестве неизвестных фигурируют токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Уравнения, решение которых, позволяет определить токи и напряжения ветвей электрической цепи, называются уравнениями электрического равновесия цепи. Число уравнений электрического равновесия должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.
На практике для анализа цепей используют различные методы составления уравнений электрического равновесия, в частности методы токов ветвей, напряжений ветвей, контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния.
При анализе цепей из рассмотрения исключаются случаи, когда использование топологических уравнений приводит к результатам, противоречащим компонентным уравнениям. Задача анализа цепи в этом случае считается поставленной некорректно. Ранее отмечались два случая возникновения подобных противоречий: применение источника напряжения в режиме короткого замыкания и источника тока в режиме холостого хода. Аналогичные противоречия возникают при параллельном включении источников напряжения с различными задающими напряжениями, при последовательном включении источников тока с различными задающими токами, при использовании контуров, составленных только из источников напряжений, и сечений, образованных только из источников тока, при подключении источника постоянного напряжения к индуктивности или источника постоянного тока к емкости. Все задачи, рассмотренные на рисунках, становятся корректными при учете внутренних сопротивлений источников энергии.
Как было показано ранее, топологические уравнения являются алгебраическими, а компонентные уравнения идеализированных пассивных элементов могут быть как алгебраическими, так и дифференциальными или интегральными. Вследствие этого уравнение электрического равновесия цепи, составленные любым методом, представляют собой в общем случае систему интегродифференциальных уравнений.
Пример. Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи.
Для этой цепи p=6, q=4, pит=1, pин=1.
Общее число неизвестных токов и напряжений ветвей 2p-pит-pин=10. Используя законы Кирхгофа, можно составить m=q-1=3 уравнений балланса токов:
-i1+i2=0; -i2+i3+i4=0; -i4+i5-i6=0 и n=p-q+1=3 уравнений баланса напряжений: U2+U3=e(t); -U3+U4-U6=0; U5+U6=0, где i5=I, U5=-UJ — ток и напряжение ветви с источником тока.
В сочетании с p-pит-pин=4 компонентными уравнениями невырожденных ветвей
получаем систему из 10 линейно независимых уравнений для определения 10 неизвестных токов и напряжений: i1, U2, i2, U3, i3, U4, i4, U5, U6, i5, i6.
Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная любым методом, может быть путем дифференцирования и последовательного исключений неизвестных сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неизвестных токов и напряжений, называемому дифференциальным уравнением цепи. Дифференциальное уравнение цепи содержит информацию о характере имеющих место в цепи электрических процессов и является основой для классификации электрических цепей.
Определение числа независимых узлов и контуров.
Для определения числа независимых узлов и независимых контуров электрической цепи и, следовательно, числа независимых уравнений, составляемых на основании законов Кирхгофа, воспользуемся тем обстоятельством, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из входящих в систему уравнений отличалось от остальных уравнений хотя бы одной переменной. Действительно, если любое из входящих в систему уравнений содержит хотя бы одну переменную, отсутствующую в других
Рис. 135. Главные сечения графа (рис. 1.27), соответствующие деревьям, приведенным:
а — на рис. 1.32, а б — на рис. 1.32, б в — на рис. 1.32, в
уравнениях, то данное уравнение не может быть получено ив других входящих в систему уравнений и, следовательно, система уравнений является линейно независимой. Таким образом, для линейной независимости уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, достаточно, чтобы каждое из уравнений баланса токов отличалось от других уравнений хотя бы одним током или, что то же самое, чтобы каждый из узлов или каждое из сечений, для которых составляется уравнение баланса токов, отличались бы от других узлов или сечений хотя бы одной ветвыо. Этому условию удовлетворяет система главных сечений графа, так как каждое из главных сечений, соответствующих выбранному дереву, отличается от других главных сечений, по крайней мере, одной ветвью, а именно ветвыо дерева, входящей в данное главное сечение. Каждому дереву графа можно поставить в соответствие т= q — 1 главных сечений и, следовательно, m = q- 1 линейно независимое уравнение баланса токов. Более строгое рассмотрение этого вопроса показывает, что число линейно независимых уравнений баланса токов не изменится, если эти уравнения составлять не для главных сечений графа, а для узлов электрической цепи (напомним, что совокупность ветвей, инцидентных какому-либо узлу графа, представляет собой каноническое сечение графа). Следовательно, любые q — 1 узлов электрической цепи образуют систему независимых узлов. Обычно в качестве независимых узлов, для которых составляется система независимых уравнений баланса токов, выбирают узлы с номерами от 1 до q — 1. Для узла с номером 0, который будем называть базисным, уравнений баланса токов не составляют.
Для линейной независимости уравнений, составляемых на основании второго закона Кирхгофа, достаточно, чтобы каждое из этих уравнений отличалось от остальных хотя бы одним напряжением. Следовательно, для того чтобы выделенная совокупность контуров была независимой, достаточно, чтобы каждый контур отличался от остальных хотя бы одной ветвью. Этому требованию удовлетворяет система главных контуров, соответствующих какому-либо дереву графа, так как каждый из главных контуров отличается от других, по крайней мере, соответствующей ему главной ветвыо. Так как число главных контуров, соответствующих любому дереву графа, п = р — q + 1, то в каждой цепи можно выделить п независимых контуров и составить для них п линейно независимых уравнений баланса напряжений.
Таким образом, общее число линейно независимых уравнений, которые можно составить для произвольной цепи на основании законов Кирхгофа, оказывается равным числу ветвей рассматриваемой цепи:
Пример 1.7. Составим систему линейно независимых уравнений баланса токов и напряжений для цепи, схема которой приведена на рис. 1.25, а (граф цепи изображен на рис. 1.27). При выбранном топологическом описании число ветвей цепи р = 7, узлов q = 4.
Следовательно, для нее можно составить т = q — 1=3 независимых уравнения баланса токов ип= р — q + 1 = 4 независимых уравнения баланса напряжений. Разумеется, вид системы уравнений будет зависеть от выбора системы независимых узлов (сечений) и системы независимых контуров.
Для дерева графа цени, изображенного на рис. 1.32, в, и соответствующих ему главных сечений (см. рис. 1.35, в) и главных контуров (см. рис. 1.33) система линейно независимых уравнений баланса токов и напряжений имеет следующий вид:
где i7 =j, щ = -Uj— ток и напряжение ветви с источником тока.
Три линейно независимых уравнения баланса токов, составленных для главных сечений графа рассматриваемой цепи, можно заменить уравнениями баланса токов, составленными для любых трех узлов цепи. После выбора в качестве независимых узлов с номерами 1, 2 и 3 система независимых уравнений баланса токов примет вид
В связи с гем, что использованное достаточное условие линейной независимости систем уравнений не является необходимым, для каждой электрической цепи можно найти и другие системы независимых контуров и сечений, не совпадающие ни с одной из систем главных контуров и главных сечений графа рассматриваемой цепи. В частности, ячейки плоского графа, число которых оказывается равным п = р — q + 1, представляют собой систему независимых контуров (будем называть эти контуры основными), которые могут не совпадать ни с одной из систем главных контуров графа данной планарной цепи.
Пример 1.8. Составим систему уравнений баланса напряжений для основных контуров цепи, граф которой приведен на рис. 1.36 (направление обхода всех контуров выбрано одинаковым — по часовой стрелке): 
Рис. 1.36. К примеру 1.8
Таким образом, основные контуры рассматриваемой цепи образуют систему независимых контуров, не совпадающих ни с одной из возможных для данной цепи систем главных контуров. В других случаях, например для графа, изображенного на рис. 1.27, система основных контуров может совпадать с одной из систем главных контуров.
Следует подчеркнуть, что понятие ячейки (окна) графа было введено ранее только для плоских графов и что только для них возможен выбор ячеек графа в качестве независимых контуров.
Уравнения Кирхгофа
Разберем на примере домашнего задания, как пользоваться уравнениями Кирхгофа при расчете электрических цепей.
Задается электрическая схема, в которой известны значения всех сопротивлений и ЭДС источников напряжения. То есть все R и E заданы.
Первым делом, нужно определить, сколько в схеме узлов, независимых контуров и ветвей.
Узел — это просто точка, где сходится три и больше проводов. Иногда составители заданий хитрят и отмечают жирной точкой углы схем, не ведитесь, это провокация. Узлом считается только то место, где проводов не меньше трех. В нашем случае узлов 4. Нумеруем их в произвольном порядке.
Число независимых контуров мы определяем по количеству геометрических фигур, составляющих схему. Обычно это не составляет труда, хотя встречаются и замороченные схемы, где не сразу становится очевидным количество контуров. То есть мысленно делаем заливку каждого участка схемы, и количество получившихся цветов соответствует количеству независимых контуров. Просим прощения за косноязычность, но стараемся объяснять, что называется, «на пальцах», чтобы было понятно. Вот контуры в нашей схеме.
Ветвь — это участок провода между двумя узлами. Участки 1-2, 1-4, 1-3, 2-4, 2-3, 3-4 — это ветви нашей схемы. Всего получается 6 ветвей. В каждой из них течет свой ток, который надо обозначить на схеме. Направление стрелки, указывающей ток, выбираем произвольно (разве что, мы любим в ветвях с источниками напряжения выбирать направления токов туда же, куда указывают стрелки ЭДС). А вообще, направление стрелок ни на что не влияет, в результате расчета часть токов получится со знаком «плюс» (значит, направление соответствует выбранному), а часть токов — со знаком «минус» (значит, направление тока противоположно). Вот наши токи на схеме. Заодно выберем направление обхода в каждом контуре. Направление можно выбирать произвольно, но мы рекомендуем всегда брать направление по часовой стрелке во всех контурах. Меньше будете путаться.
Подведем промежуточный итог. Мы изучили данную схему, посчитали количество узлов (четыре), количество независимых контуров (три), количество ветвей (шесть), пронумеровали узлы, контуры, выбрали направление обхода и расставили стрелки токов в ветвях (шесть токов в соответствии с количеством ветвей).
Перейдем непосредственно к уравнениям Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа гласит: сколько тока пришло в узел, столько и должно выйти. Напоминает закон сохранения чего-угодно и по сути им и является. То есть сумма токов, вошедших в узел, равна сумме токов вышедших из узла. На практике это выглядит так: смотрим на любой узел, записываем, какие токи текут в ветвях, составляющих этот узел (из определения узла понятно, что их должно быть не меньше трех), входящие токи берем с плюсом, исходящие — с минусом. В сумме должен получиться ноль. Число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше, чем количество узлов в схеме. То есть из четырех узлов выбираем любые три. Исключительно из любви к прекрасному возьмем подряд узлы 1, 2, 3.
Смотрим на узел 1. В нем сходятся ветви 1,3,5, ток I1 входит (+), ток I3 выходит (-), ток I5 выходит (-).
Получаем первое уравнение.
Узел 2. В нем сходятся ветви 1,2,4, ток I1 выходит (-), ток I2 входит (+), ток I4 выходит (-).
Узел 3. В нем сходятся ветви 4,5,6, ток I4 входит (+), ток I5 входит (+), ток I6 выходит (-).
Аналогично можно записать уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 4, но это уже будет избыточное уравнение. Нам нужно только три, но, подчеркиваем, что выбрать можно любые три узла.
Второй закон Кирхгофа простыми словами сводится к следующему: сумма напряжений на каждом резисторе внутри контура должна быть равна ЭДС этого контура. На практике это выглядит так: берем по очереди каждый контур, в левой части уравнения пишем напряжения на резисторах. Как мы помним из закона Ома U=IR, то есть напряжение на резисторе равно произведению силы тока в ветви на сопротивление резистора. ЭДС контура — это источники напряжения Е в нашей схеме. В общем, проще показать на примере, чем объяснить.
Уравнений пишем ровно столько, сколько в цепи независимых контуров, то есть три. Начинаем по порядку.
Контур I. Направление обхода мы выбрали по часовой стрелке. Ток I1 мы направили в другую сторону, поэтому падение напряжения на резисторе R1 берется с минусом. В резисторе R2 ток тот же и тоже берется с минусом. Ток I2 течет без сопротивления, игнорируем его, ток I3 — то же самое. ЭДС в контуре одна — E1, и направление также противоположно выбранному направлению обхода, значит, в правую часть уравнения записываем E1 со знаком минус.
Для контура I уравнение Кирхгофа выглядит так:
Контур II обходим тоже по часовой стрелке. Ток I4 течет через сопротивление R4 в направлении, совпадающем с направлением обхода. Токи I2 и I6 текут без сопротивлений, так что в уравнение не входят. ЭДС в правой части уравнения: E1 с плюсом, E3 с плюсом, E4 с плюсом.
Уравнение получается таким:
И наконец контур III. Ток I5 через резистор R5 с минусом, токи I3 и I6 не участвуют. ЭДС E2 с минусом.
Окончательно получаем систему из шести уравнений (как раз столько, сколько у нас неизвестных токов в наших ветвях).
Эта система имеет одно решение, так что, решив ее любым доступным вам методом (мы предпочитаем решать в MathCad, поскольку меньше риск арифметической ошибки и проще вносить исправления, если понадобится), вы определите все неизвестные токи в цепи.
В следующих разделах мы обсудим методы проверки расчета электрической схемы, а также рассмотрим другие способы решения, такие как метод контурных токов, метод межузловых потенциалов, метод эквивалентного генератора.
Основы электротехники и электроники: Курс лекций , страница 3
При свертке параллельных ветвей эквивалентное сопротивление всегда меньше наименьшего из сворачиваемых.
Если параллельно соединены n одинаковых сопротивлений (Рис. 3.3), эквивалентное сопротивление в n раз меньше сопротивления любой из ветвей.
Если на участке цепи параллельно соединены лишь два элемента (Рис. 3.4), выражение (3.2) упрощается. В этом случае эквивалентное сопротивление можно определить как отношение произведения двух сопротивлений к их сумме:
4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
К основным законам электрических цепей относятся закон Ома и законы Кирхгофа.
Закон Ома
Если в ветви не содержится ЭДС, к ней применим уже известный закон Ома для пассивного участка цепи (1.1). Его можно сформулировать и следующим образом. Ток в ветви, не содержащей ЭДС, равен падению напряжения в ветви, деленному на сопротивление ветви (Рис. 4.1):
Закон Ома для ветви, содержащей ЭДС, позволяет найти ток этой ветви по известной разности потенциалов на концах ветви. Ток в ветви, содержащей ЭДС, равен дроби, знаменатель которой – это сопротивление ветви. В числителе дроби – напряжение на концах ветви плюс алгебраическая сумма ЭДС, заключенных между концами ветви. С плюсом берутся напряжения и ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, с минусом – противоположные.
В частности, ток в ветви, изображенной на Рис. 4.2, равен:
Первый закон Кирхгофа
В любом узле цепи алгебраическая сумма токов равна нулю. При этом, токи, направленные к узлу, принято считать положительными, токи, направленные от узла, принято считать отрицательными (Рис. 4.3).
По первому закону Кирхгофа можно написать столько уравнений, сколько узлов содержит схема. Но не все они будут независимыми. Если схема содержит узлов, независимыми будут уравнений. Оставшееся уравнение будет являться следствием всех предыдущих.
Второй закон Кирхгофа
В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в контур.
При этом, положительными считаются те напряжения и ЭДС, которые совпадают с направлением обхода контура, отрицательными считаются напряжения и ЭДС, которые противоположны направлению обхода контура. Направление обхода контура можно выбирать произвольно.
Алгоритм составления уравнения по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура цепи
Для заданного контура (Рис. 4.4 а) уравнение по второму закону Кирхгофа составляется в следующем порядке:
- Задается направление токов в ветвях (Рис. 4.4 б).
- Выбирается направление обхода контура (Рис. 4.4 в).
- Записывается уравнение, в левой части которого – сумма падений напряжений на сопротивлениях ветвей. В правой части – сумма ЭДС контура.
Примечание: Падение напряжения на сопротивлении ветви записывается в соответствии с известным уже законом Ома (1.1):
Применение второго закона Кирхгофа для незамкнутого участка цепи
Второй закон Кирхгофа справедлив только для замкнутого контура. При этом, любой незамкнутый участок цепи можно дополнить до замкнутого контура с помощью напряжения в разрыве незамкнутого участка.
Незамкнутый участок цепи abcd изображен на Рис. 4.5 а.
Дополняем участок до замкнутого контура, добавляя напряжение между незамкнутыми точками c и d (Рис. 4.5 б). Теперь для контура abcd можно записать второй закон Корхгофа:
Применение законов Кирхгофа при наличии в цепи источника тока
Источник тока имеет бесконечно большое сопротивление, поэтому не образует замкнутого контура и не может входить в уравнения второго закона Кирхгофа. Однако, в уравнениях первого закона Кирхгофа источник тока должен содержаться обязательно.
При необходимости записать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, содержащего источник тока, его заменяют напряжением на выводах источника тока.
Написать уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a и уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd (Рис. 4.6 а).
Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a содержит источник тока и имеет вид:
Для того чтобы написать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd, заменяем источник тока напряжением на его выводах (Рис. 4.6 б), задаем направление обхода контура против часовой стрелки и получаем:
Для упрощения расчетов источник тока с параллельным сопротивлением можно заменить на эквивалентный источник ЭДС (Рис. 4.7). После расчета необходимо обязательно вернуться к исходной схеме.
Независимый контур цепи
В принципе, по второму закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько контуров содержит цепь. Но не все эти уравнения будут независимыми. Для определения независимости уравнений по второму закону Кирхгофа вводится такое понятие как независимый контур цепи.
Независимый контур цепи – это такой контур, который содержит хотя бы одну новую ветвь, не вошедшую в другие контуры цепи.
Независимые контуры в общем случае выбираются произвольно, но проще всего выбирать их так, чтобы они совпадали с ячейками цепи (Рис. 4.8 б).
Если схема содержит ветвей и узлов, число независимых контуров равно
Схема на Рис. 4.8 б содержит три независимых контура.
5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА ДЛЯ РАСЧЕТА ТОКОВ ЦЕПИ
Законы Кирхгофа можно использовать для расчета токов в ветвях цепи. Главное требование при этом – получение системы независимых уравнений, в которой число неизвестных равно количеству токов, подлежащих определению.