Методы расчета цепей постоянного тока
Электрическая цепь – это совокупность электротехнических устройств, которые предназначены для преобразования, передачи и генерирования электроэнергии, соединенных между собой электрическими проводами.
Электротехнические устройства, которые образуют электрическую цепь, делятся на три группы:
- Приемные устройства. Задача данных устройств заключается в преобразовании электрической энергии в другие виды.
- Генерирующие устройства. Задача данных устройств заключается в преобразовании различных видов энергии (световая, тепловая, механическая и т.п.) в электрическую.
- Вспомогательные устройства. Задача данных устройств заключается в регулировании и управлении режимами работы цепи, ее защите, а также в контроле и измерении основных параметров.
Все электротехнические устройства, входящие в состав электрической цепи, имеют условные графические обозначения, которые регламентируются ГОСТом. Пример электрической цепи изображен на рисунке ниже.
Рисунок 1. Пример электрической цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Здесь: G — генератор постоянного электрического тока; EL — лампа; Q — выключатель; А, Б — выходные зажимы источника энергии; а, б — входные зажимы приемника энергии.
Выше представленная цепь является простой, так как в ней содержится один приемник и один источника энергии. Сложно электрической цепью является такая цепь, в которой содержится несколько источников и приемников энергии.
Основные методы расчета электрических цепей постоянного тока и их задачи
К основным методам расчета электрических цепей постоянного тока можно отнести:
- Метод двух узлов. При данном методе за искомое принимается напряжение между двумя узлами цепи, после определения которого рассчитывают токи во всех ветвях.
- Метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Данный метод заключается составлении систем уравнений в соответствии с двумя правилами Кирхгофа и их последующего решения.
- Метод контурных токов. При применении данного метода за неизвестное принимаются токи в контурах, образующихся посредством условного деления.
- Метод эквивалентных преобразований. Этот метод основан на свертывании электрической цепи.
Самые частые задачи, на решение которых направлены методы расчета цепей, — определение параметров элементов цепи, напряжений, токов, сопротивлений, мощностей, а также определение характера изменения значений разных величин.
Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Рассмотрим схему замещения, представленную на рисунке ниже, в которой нам известны сопротивлений приемников и электродвижущих сил источников энергии (Е1, Е2, Е3, R1, R2, R3, R4, R5).
Рисунок 2. Схема замещения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Задача заключается в определении тока каждой ветви, мощности каждого элемента и составление баланса мощности. Порядок решение выглядит следующий. Сначала условно выбираются направления токов в ветвях (как на рисунке). Затем составляется система независимых уравнений, в которых неизвестное — ток. Число уравнений в системе равняется количеству ветвей в цепи. Поэтому для данной схемы, согласно первому закону Кирхгофа, уравнения будут выглядеть так.
$-I_1 – I_3 + I_4 = 0$
$I_2 – I_4 + I_5 = 0$
$I_1 – I_5 + I_6 = 0$
Уравнения, которых не хватает составляются по второму закону. Для этого выбираются независимые контуры и направления обхода каждого из них. В том случае, если электродвижущие силы токи совпадают с направлением обхода они принимаются положительными, если нет — отрицательными. Для рассматриваемой схемы уравнения будут выглядеть следующим образом.
$E_1 = I_1R_1 + I_4R_4 + I_5R_5$
$Е_2 = I_2R_2 + I_3R_3 + I_4R_4$
$-E_2 + E_3 = -I_2R_2 + I_5R_5$
Решая получившиеся уравнения, определяют токи в ветвях цепи. Для того, чтобы проверить правильность решения системы уравнения составляют баланс мощностей:
Рисунок 3. Баланс мощностей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Получается, что при правильном решении систем уравнения, суммарная мощность, которая потребляется всеми резисторами электрической цепи должна равняться мощность, генерируемой все источниками цепи. При определении мощности источника энергии надо учитывать соответствие положительно направленных электродвижущих сил источника и тока в нем, то есть:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Если направление тока совпадает с направление электродвижущей силы, то ставится знак “плюс”, если нет, то знак “минус”. В обоих вариантах значение мощности источника энергии может быть, как отрицательным, так и положительным, в зависимости от значения тока. Положительное значение мощности тока источника означает, что он генерирует энергию, а отрицательно, что потребляет.
Применение законов Кирхгофа для расчета цепей постоянного тока, позволяет рассчитать цепи абсолютной любой сложности. Его основной недостаток заключается в необходимости большого количества вычислений при решении систем уравнений.
Методы расчета электрических цепей
Постановка задачи: в известной схеме цепи с заданными параметрами необходимо рассчитать токи, напряжения, мощности на отдельных участках. Для этого можно использовать следующие методы:
непосредственного применения законов Кирхгофа;
Будем рассматривать первых два метода.
Метод преобразования цепи. Суть метода: если несколько последовательно или (и) параллельно включенных сопротивлений заменить одним, то распределение токов в электрической цепи не изменится.
а) Последовательное соединение резисторов. Сопротивления включены таким образом, что начало следующего сопротивления подключается к концу предыдущего (рис. 6).
Ток во всех последовательно соединенных элементах одинаков.
З
аменим все последовательно соединенные резисторы одним эквивалентным
(рис. 7.).
По IIзакону Кирхгофа:
;
;
т.е. при последовательном соединении резисторов эквивалентное сопротивление участка цепи равно сумме всех последовательно включенных сопротивлений.
б) Параллельное соединение резисторов. При этом соединении соединяются вместе одноименные зажимы резисторов (рис. 8).
В
се элементы присоединяются к одной паре узлов. Поэтому ко всем элементам приложено одно и тоже напряжениеU.
По Iзакону Кирхгофа:
.
По закону Ома 
. Тогда
.
Для эквивалентной схемы (см рис. 7): 
; 
.
Величина 
, обратная сопротивлению, называется проводимостьюG.
;
= Сименс (См).
Ч
астный случай: параллельно соединены два резистора (рис. 9).
в) Взаимное преобразование звезды (рис.10а) и треугольник сопротивлений (рис. 10б).
— преобразование звезды сопротивлений в треугольник:
— преобразование «треугольника» сопротивлений в «звезду»:
Метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Порядок расчета:
Определить число ветвей (т.е. токов) и узлов в схеме.
Произвольно выбрать условно-положительные направления токов. Общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов.
Определить, сколько уравнений должно быть составлено по Iзакону Кирхгофа, а сколько — поIIзакону Кирхгофа.
Составить уравнения для 
узлов поIзакону Кирхгофа и для
независимых контуров (отличающихся друг от друга хотя бы на одну ветвь) — поIIзакону Кирхгофа.
Решить система уравнений относительно токов. Если в результате ток получился отрицательным, то его действительное направление противоположно выбранному.
Проверить правильность решения задачи, составив уравнение баланса мощности и смоделировав электрическую цепь средствами моделирующего пакета ElectronicsWorkbench.
Примечание: если есть возможность, то перед составлением системы уравнений по законам Кирхгофа, следует преобразовать «треугольник» сопротивлений в соответствующую «звезду».
Пример расчет электрических цепей постоянного тока
Расчет будем выполнять с применением законов Кирхгофа, предварительно преобразовав треугольник сопротивлений в звезду.
П
ример. Определить токи в цепи рис. 11, еслиE1=160 В,E2=100 В,R3=100 Ом,R4=100 Ом,R5=150 Ом,R6=40 Ом.
Преобразуем треугольник сопротивлений R4 R5 R6в звезду сопротивленийR45 R56 R64, предварительно указав условные положительные направления токов в цепи (рис. 12).
Ом;
Ом;
Ом.
После преобразования электрическая цепь примет вид рис. 13 (в непреобразованной части электрической цепи направления токов не изменятся).
В
полученной электрической цепи 2 узла, 3 ветви, 2 независимых контура, следовательно, в цепи протекает три тока (по количеству ветвей) и необходимо составить систему трех уравнений, из которых поIзакону Кирхгофа – одно уравнение (на 1 меньше, чем узлов в схеме электрической цепи) и два уравнения – поIIзакону Кирхгофа:
Подставим в полученную систему уравнений известные значения ЭДС и сопротивлений:
Решая систему уравнений любым способом, определяем токи схемы электрической цепи рис. 13:
А;
А;
А.
Переходим к исходной схеме (см. рис. 11). По IIзакону Кирхгофа:
;
А.
По Iзакону Кирхгофа:
;
А;
;
А.
Т
оки
и
получились отрицательными, следовательно, их действительное направление противоположно выбранному нами (рис. 14).
Правильность решения проверяем, составив уравнение баланса мощности. Мощность источников (учтем, что ЭДС источника E2направленно встречно токуI2, протекающему через него):
Вт.
Погрешность вычислений в пределах допустимого (меньше 5%).
Смоделируем электрическую цепь рис. 11 средствами моделирующего пакета ElectronicsWorkbench(рис. 15):
Р
ис. 15
При сравнении расчетных результатов и результатов моделирования, можно увидеть, что они отличаются (различия не превышают 5%), т.к. измерительные приборы имеют внутренние сопротивления, которые моделирующая система учитывает
РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
В цепи постоянного тока действуют постоянные напряжения, протекают постоянные токи и присутствуют только резистивные элементы (сопротивления).
Идеальным источником напряжения называют источник, напряжение на зажимах которого, создаваемое внутренней электродвижущей силой (ЭДС ), на зависит от формируемого им в нагрузке тока (рис. 6.1а). При этом имеет место равенство . Вольтамперная характеристика идеального источника напряжения показана на рис. 6.1б.
Идеальным источником тока называют источник, который отдает в нагрузку ток, не зависящий от напряжения на зажимах источника, Рис. 6.2а. Его вольтамперная характеристика показана на рис. 6.2б.
В сопротивлении связь между напряжением и током определяется законом Ома в виде
Пример электрической цепи показан на рис. 6.3. В ней выделяются ветви, состоящие из последовательного соединения нескольких элементов (источника E и сопротивления ) или одного элемента ( и ) и узлы – точки соединения трех и более ветвей, отмеченные жирными точками. В рассмотренном примере имеется ветви и узла.
Кроме того, в цепи выделяются независимые замкнутые контуры, не содержащие идеальные источники тока. Их число равно . В примере на рис. 6.3 их число , например, контуры с ветвями E и , показанные на рис. 6.3 овалами со стрелками, указывающими положительное направление обхода контура.
Связь токов и напряжений в цепи определяется законами Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю,
Втекающие в узел токи имеют знак плюс, а вытекающие минус.
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на элементах замкнутого независимого контура равна алгебраической сумме ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этом контуре,
Напряжения и ЭДС берутся со знаком плюс, если их положительные направления совпадают с направлением обхода контура, в противном случае используется знак минус.
Для приведенного на рис. 6.3 примера по закону Ома получим подсистему компонентных уравнений
По законам Кирхгофа подсистема топологических уравнений цепи имеет вид
Расчет на основе закона Ома
Этот метод удобен для расчета сравнительно простых цепей с одним источником сигнала . Он предполагает вычисление сопротивлений участков цепи, для которых известна вели-
чина тока (или напряжения), с последующим определением неизвестного напряжения (или тока). Рассмотрим пример расчета цепи, схема которой приведена на рис. 6.4, при токе идеального источника А и сопротивлениях Ом, Ом, Ом. Необходимо определить токи ветвей и , а также напряжения на сопротивлениях , и .
Известен ток источника , тогда можно вычислить сопротивление цепи относительно зажимов источника тока (параллельного соединения сопротивления и последовательно соединен-
Рис. 6.4 ных сопротивлений и ),
Напряжение на источнике тока (на сопротивлении ) равно
Затем можно найти токи ветвей
Полученные результаты можно проверить с помощью первого закона Кирхгофа в виде . Подставляя вычисленные значения, получим А, что совпадает с величиной тока источника.
Зная токи ветвей, нетрудно найти напряжения на сопротивлениях (величина уже найдена)
По второму закону Кирхгофа . Складывая полученные результаты, убеждаемся в его выполнении.
Расчет цепи по уравнениям Кирхгофа
Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 6.3 при и . Цепь описывается системой уравнений (6.4) и (6.5), из которой для токов ветвей получим
Из первого уравнения выразим , а из третьего
Тогда из второго уравнения получим
Из уравнений закона Ома запишем
Нетрудно убедиться, что выполняется второй закон Кирхгофа
Подставляя численные значения, получим
Эти же результаты можно получить, используя только закон Ома.
Мощность в цепи постоянного тока
Действующие в цепи идеальные источники тока и (или) напряжения отдают мощность в подключенную к ним цепь (нагрузку). Для цепи на рис. 6.1а отдаваемая идеальным источником напряжения мощность равна
а в цепи на рис. 6.2а идеальный источник тока отдает в нагрузку мощность
Подключенная к источнику внешняя резистивная цепь потребляет от него мощность, преобразуя ее в другте виды энергии, чаще всего в тепло.
Если через сопротивление протекает ток , а приложенное к нему напряжение равно , то для потребляемой сопротивлением мощности получим
С учетом уравнений закона Ома (6.1) можно записать
Если в цепи несколько сопротивлений, то сумма потребляемых ими мощностей равна суммарной мощности, отдаваемой в цепь всеми действующими в ней источниками. Это условие баланса мощностей.
Например, для цепи на рис. 6.3 в общем виде получим
Подставляя в левую часть равенства (6.11) полученные ранее выражения для токов, получим
что соответствует правой части выражения (6.11).
Аналогичные расчеты можно проделать и для цепи на рис. 6.4.
Условие баланса мощностей позволяет дополнительно контролировать правильность расчетов.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Расчет электрических цепей
Для вычисления рабочих параметров радиотехнических устройств и отдельных схем применяют специальные методики. После изучения соответствующих технологий результат можно узнать быстро, без сложных практических экспериментов. Корректный расчет электрических цепей пригодится на стадии проектирования и для выполнения ремонтных работ.
Задачи на расчет электрических цепей решают с применением типовых алгоритмов
Категории элементов и устройств электрической цепи
Для условного изображения определенной цепи применяют специальную схему. Кроме отдельных физических компонентов, она содержит сведения о направлении (силе) токов, уровнях напряжения и другую информацию. Качественная модель показывает реальные процессы с высокой точностью.
Компоненты электрической цепи:
- источник постоянного или переменного тока (Е) – аккумулятор или генератор, соответственно;
- пассивные элементы (R) – резисторы;
- компоненты с индуктивными (L) и емкостными (С) характеристиками;
- соединительные провода.
На рисунке обозначены:
- ветви – участки цепи с одним током;
- узлы – точки соединения нескольких ветвей;
- контур – замкнутый путь прохождения тока.
При решении практических задач выясняют, как узнать силу тока в отдельных ветвях. Полученные значения используют для анализа электрических параметров. В частности, можно определять падение напряжения на резисторе, мощность потребления подключенной нагрузки. При расчете цепей переменного тока приходится учитывать переходные энергетические процессы, влияние частоты.
Метод расчета по законам Ома и Кирхгофа
До изучения технологий вычислений необходимо уточнить особенности типовых элементов при подключении к разным источникам питания. При постоянном токе сопротивлением индуктивности можно пренебречь. Конденсатор эквивалентен разрыву цепи. Также следует учитывать следующие различия разных видов соединений резисторов:
- последовательное – увеличивает общее сопротивление;
- параллельное – распределяет токи по нескольким ветвям, что улучшает проводимость.
Закон Ома для участка цепи
Типовая аккумуляторная батарея легкового автомобиля вырабатывает напряжение U = 12 V. Бортовой или внешний амперметр покажет соответствующее значение при измерении. Соединение клемм проводом недопустимо, так как это провоцирует короткое замыкание. Если жила тонкая (< 1 мм), высокая плотность тока в соответствующем поперечном сечении быстро увеличит температуру вплоть до теплового разрушения материала с разрывом цепи. Этот пример демонстрирует функциональность обычного плавкого предохранителя.
Подключив нагрузку, можно мультиметром проверить напряжение. Значение этого параметра остается неизменным. Если известно сопротивление (пример – R = 50 Ом), применение закона Ома (I = U/ R) поможет рассчитать ток:
I = 12/ 50 = 0,24 А.
По вычисленному значению с использованием формулы быстро определяется мощность:
P = I2 *R = U2/ R = 0,0576 * 50 = 2,88 Вт.
К сведению. Результат показанного расчета пригодится для поиска подходящего резистора. Следует делать запас в сторону увеличения. По стандарту серийных изделий подойдет элемент с паспортной номинальной мощностью 5 Вт.
На практике приходится решать более сложные задачи. Так, при значительной длине линии нужно учесть влияние соединительных ветвей цепи. Через стальной проводник ток будет протекать хуже, по сравнению с медным аналогом. Следовательно, надо в расчете учитывать удельное сопротивление материала. Короткий провод можно исключить из расчета. Однако в нагрузке может быть два элемента. В любом случае общий показатель эквивалентен определенному сопротивлению цепи. При последовательном соединении Rэкв = R1 + R2 +…+ Rn. Данный метод пригоден, если применяется постоянный ток.
Закон Ома для полной цепи
Для вычисления такой схемы следует добавить внутреннее сопротивление (Rвн) источника. Как найти ток, показывает следующая формула:
Вместо напряжения (U) при расчетах часто используют типовое обозначение электродвижущей силы (ЭДС) – E.
Первый закон Кирхгофа
По классической формулировке этого постулата алгебраическая сумма токов, которые входят и выходят из одного узла, равна нулю:
I1 + I2 + … + In = 0.
Это правило действительно для любой точки соединения ветвей электрической схемы. Следует подчеркнуть, что в данном случае не учитывают характеристики отдельных элементов (пассивные, реактивные). Можно не обращать внимания на полярность источников питания, включенных в отдельные контуры.
Чтобы исключить путаницу при работе с крупными схемами, предполагается следующее использование знаков отдельных токов:
- входящие – положительные (+I);
- выходящие – отрицательные (-I).
Второй закон Кирхгофа
Этим правилом установлено суммарное равенство источников тока (ЭДС), которые включены в рассматриваемый контур. Для наглядности можно посмотреть, как происходит распределение контрольных параметров при последовательном подключении двух резисторов (R1 = 50 Ом, R2 = 10 Ом) к аккумуляторной батарее (Uакб = 12 V). Для проверки измеряют разницу потенциалов на выводах пассивных элементов:
- UR1 = 10 V;
- UR1 = 2 V;
- Uакб = 12 V = UR1 + UR2 = 10 + 2;
- ток в цепи определяют по закону Ома: I = 12/(50+10) = 0,2 А;
- при необходимости вычисляют мощность: P = I2 *R = 0,04 * (50+10) = 2,4 Вт.
Второе правило Кирхгофа действительно для любых комбинаций пассивных компонентов в отдельных ветвях. Его часто применяют для итоговой проверки. Чтобы уточнить корректность выполненных действий, складывают падения напряжений на отдельных элементах. Следует не забывать о том, что дополнительные источники ЭДС делают результат отличным от нуля.
Метод преобразования электрической цепи
Как определить силу тока в отдельных контурах сложных схем? Для решения практических задач не всегда нужно уточнение электрических параметров на каждом элементе. Чтобы упростить вычисления, используют специальные методики преобразования.
Расчет цепи с одним источником питания
Для последовательного соединения пользуются рассмотренным в примере суммированием электрических сопротивлений:
Rэкв = R1 + R2 + … + Rn.
Контурный ток – одинаковый в любой точке цепи. Проверять его можно в разрыве контрольного участка мультиметром. Однако на каждом отдельном элементе (при отличающихся номиналах) прибор покажет разное напряжение. По второму закону Кирхгофа можно уточнить результат вычислений:
E = Ur1 + Ur2 + Urn.
Параллельное соединение резисторов, схемотехника и формулы для расчетов
В этом варианте в полном соответствии с первым постулатом Кирхгофа токи разделяются и соединяются во входных и выходных узлах. Показанное на схеме направление выбрано с учетом полярности подключенного аккумулятора. По рассмотренным выше принципам сохраняется базовое определение равенства напряжений на отдельных компонентах схемы.
Как найти ток в отдельных ветвях, демонстрирует следующий пример. Для расчета приняты следующие исходные значения:
- R1 = 10 Ом;
- R2 = 20 Ом;
- R3= 15 Ом;
- U = 12 V.
По следующему алгоритму будут определяться характеристики цепи:
- базовая формула для трех элементов:
Rобщ = R1*R2*R3/(R1*R2 + R2*R3 + R1*R3.
- подставив данные, вычисляют Rобщ = 10 * 20 * 15 / (10*20 + 20*15 +10*15) = 3000 /(200+300+150) = 4,615 Ом;
- I = 12/ 4,615 ≈ 2,6 А;
- I1 = 12/ 10 = 1,2 А;
- I2 = 12/20 = 0,6 А;
- I3 = 12/15 = 0,8 А.
Как и в предыдущем примере, рекомендуется проверить результат вычислений. При параллельном соединении компонентов должно соблюдаться равенство токов на входе и суммарного значения:
I = 1,2 + 0,6 + 0,8 = 2,6 А.
Если применяется синусоидальный сигнал источника, вычисления усложняются. При включении в однофазную розетку 220V трансформатора придется учитывать потери (утечку) в режиме холостого хода. В этом случае существенное значение имеют индуктивные характеристики обмоток и коэффициент связи (трансформации). Электрическое сопротивление (ХL) зависит от следующих параметров:
- частоты сигнала (f);
- индуктивности (L).
Вычисляют ХL по формуле:
Чтобы находить сопротивление емкостной нагрузки, подойдет выражение:
Следует не забывать о том, что в цепях с реактивными компонентами сдвигаются фазы тока и напряжения.
Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими источниками питания
Пользуясь рассмотренными принципами, вычисляют характеристики сложных схем. Ниже показано, как найти ток в цепи при наличии двух источников:
- обозначают компоненты и базовые параметры во всех контурах;
- составляют уравнения для отдельных узлов: a) I1-I2-I3=0, b) I2-I4+I5=0, c) I4-I5+I6=0;
- в соответствии со вторым постулатом Кирхгофа, можно записать следующие выражения для контуров: I) E1=R1 (R01+R1)+I3*R3, II) 0=I2*R2+I4*R4+I6*R7+I3*R3, III) -E2=-I5*(R02+R5+R6)-I4*R4;
- проверка: d) I3+I6-I1=0, внешний контур E1-E2=I1*(r01+R1)+I2*R2-I5*(R02+R5+R6)+I6*R7.
Пояснительная схема к расчету с двумя источниками
Дополнительные методы расчета цепей
В зависимости от сложности устройства (электрической схемы), выбирают оптимальную технологию вычислений.
Метод узлового напряжения
Основные принципы этого способа базируются на законе Ома и постулатах Кирхгофа. На первом этапе определяют потенциалы в каждом узле. Далее вычисляют токи в отдельных ветвях с учетом соответствующих электрических сопротивлений (отдельных компонентов или эквивалентных значений). Проверку делают по рассмотренным правилам.
Метод эквивалентного генератора
Эта технология подходит для быстрого расчета тока в одной или нескольких контрольных ветвях.
В данной методике общую цепь представляют в виде источника тока с определенным напряжением и внутренним сопротивлением. Далее выполняют вычисления по контрольной ветви с применением стандартного алгоритма.