Как перевести напряжение в комплексный вид

22

Комплексная форма напряжения

Представим в комплексной форме основные физические величины и законы:

1. напряжение и ток;

2. сопротивление и проводимость;

3. закон Ома, 1-й и 2-й законы Кирхгофа;

Рассмотрим комплексную форму напряжения в двух случаях:

1. переменное напряжение изображается вектором, вращающимся с угловой скоростью ω;

2. переменное напряжение изображается неподвижным вектором.

1-й случай (угловая скорость вектора напряжения ω ≠ 0).

Предположим, что напряжение изменяется по закону

где: u – мгновенное значение напряжения, В;

U — амплитудное значение напряжение, В;

ω – угловая частота переменного тока, рад / с (с );

t – промежуток времени между моментом времени t = 0 и данным моментом,

ψ – начальная фаза напряжения, электрический градус.

Такое напряжение можно представить комплексным числом

В правой части этого числа выражение U sin (ωt + ψ) представляет собой мгно-

венное значение синусоидально изменяющегося напряжения. Поскольку в правую часть выражения входит время, эта форма позволяет найти мгновенное значение

напряжения для любого момента времени t. (см. пример 19).

Пример 18. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin (314t + 30º). Представить это напряжение в комплексной форме.

Пример 19. Напряжение изменяется по закону. Ủ = 310*е .

Найти мгновенные значения этого напряжения для моментов времени t = 0; 0,0025 с; 0,005 с; 0,0075 с; 0,01 с; 0,0125 с; 0,015 с; 0,0175 с; 0,02 с.

Решение. Мгновенное значение синусоидально изменяющегося напряжения

u = U sin (ωt + ψ) = 310 sin (314t + 30º).

Примечание: для расчета числа sin (314t + 30º) надо перевести радианы

( в данном случае – 314), в градусы. Для этого число радиан (314) умножают на число градусов в одном радиане, т.е. на число 360º/ 2π (1 рад = 360º/ 2π = 57º3′).

Для момента времени t = 0

u = 310 sin (314*0 + 30º) = 310 sin 30º = 310*0,5 = 155 В.

u = 310 sin [314 (360º/ 2π)*0,0025*+ 30º ] = 310 sin(45º + 30º) = 310 sin 75º = 300 В;

u = 310 sin [314 (360º/ 2π)*0,005*+ 30º ] = 310 sin(90º + 30º) = 310 sin 120º = 268 В;

u = 310 sin [314 (360º/ 2π)*0,0075*+ 30º ] = 310 sin(135º + 30º) = 310 sin 165º = 80 В;

u = 310 sin [314 (360º/ 2π)*0,01*+ 30º ] = 310 sin(180º + 30º) = 310 sin 210º = — 15,5 В;

u = 310 sin [314 (360º/ 2π)*0,0125*+ 30º ] = 310 sin(225º + 30º) = 310 sin 255º = — 300 В;

u = 310 sin [314 (360º/ 2π)*0,015*+ 30º ] = 310 sin(270º + 30º) = 310 sin 300º = — 268 В;

u = 310 sin [314 (360º/ 2π)*0,0175*+ 30º ] = 310 sin(315º + 30º) = 310 sin 345º = — 80 В;

u = 310 sin [314 (360º/ 2π)*0,02*+ 30º ] = 310 sin(360º + 30º) = 310 sin 390º =

По найденным числовым значениям при необходимости можно построить волновую (в виде синусоиды) диаграмму данного переменного напряжения u (t).

2-й случай (угловая скорость вектора напряжения ω = 0).

Подставляем ω = 0 во все полученные в 1-м случае соотношения.

Такое напряжение можно представить комплексным числом

Ủ = U *е = U cos (ωt + ψ) + j U sin (ωt + ψ) = U cos (0*t + ψ) + j U sin (0*t + ψ) = U cos ψ + j U sin ψ (22).

В правой части этого числа выражение j U sin ψ — это мгновенное значе-

ние синусоидально изменяющегося напряжения. На комплексной плоскости j (х) это выражение выражается проекцией вектора U на вертикальную ось.

Поскольку в правую часть выражения не входит время (t = 0), это выраже-

ние позволяет найти мгновенное значение напряжения только для момента времени t = 0.

Для действующих значений напряжения получим аналогичное выражение

где: U = U / — действующее значение напряжения.

Пример 20. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin (314t + 30º). Представить это напряжение в комплексной форме.

Пример 21. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin (314t + 30º). Представить действующее значение этого напряжения в комплексной форме.

Решение. Действующее значение напряжение U = U / = 310 / = 220 В.

Это напряжение в комплексной форме Ủ = 220*е .

Все приведенные выше рассуждения, касавшиеся напряжений, полностью относятся к токам.

Например, если ток изменяется по закону ι = I sin (ωt + ψ), то его можно представить комплексным числом

Поскольку в правую часть выражения входит время, это выражение позволяет найти мгновенное значение тока для любого момента времени t.

Если принять ω = 0 (вектор тока не вращается), то комплекс такого тока

Ĭ = I *е = I cos ψ + j I sin ψ (24).

Поскольку в правую часть выражения не входит время (t = 0), это выражение позволяет найти мгновенное значение тока только для момента времени t = 0.

2. Комплексная форма сопротивлений и проводимостей

Комплексным сопротивлением электрической цепи называется отношение комплексного напряжения Ủ к комплексному току Ĭ:

где: Ž – комплексное сопротивление цепи, Ом;

U – модуль комплексного напряжения, равный действующему его значению, В;

I — модуль комплексного тока, равный действующему его значению, А;

z, r и х – полное, активное и реактивное сопротивления цепи, Ом.

При записи сопротивления в комплексной форме вещественная часть комп-

лексного сопротивления всегда равна активному сопротивлению, а мнимая часть – реактивному.

При индуктивной нагрузке мнимая часть комплексного сопротивления положительна, при емкостной – отрицательна.

Пример 22. В цепь переменного тока включены резистор и индуктивность с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в

Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х = 3 + j 4 (Ом).

Пример 23. В цепь переменного тока последовательно включены резистор и ем-

кость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.

Решение. Полное сопротивление цепи z = r – j х = 3 – j 4 (Ом).

Пример 24. В цепь переменного тока последовательно включены резистор, индуктивность и емкость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 12 Ом и х = 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.

Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х — j х = r + j х — j х =

= r + j (х — х ) = 3 + j (12 — 4) = 3 + j 8 (Ом).

Пример 25. В цепь переменного тока последовательно включены резистор, индуктивность и емкость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 4 Ом и х = 12 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.

Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х — j х = r + j х — j х =

= r + j (х — х ) = 3 + j (4 — 12) = 3 – j 8 (Ом).

Комплексной проводимостью электрической цепи называется отношение комплексного тока Ĭ к комплексному напряжению Ủ:

Комплексное напряжение

,

где — мнимая единица. В частности, если ,

.

Формула Эйлера применяется для перевода комплексных чисел из показательной формы в алгебраическую. В показательной форме комплексное число содержит модуль z и аргумент :

.

В алгебраической форме комплексное число имеет действительную часть x и мнимую часть y:

.

, . (4.1)

Решив эти уравнения относительно и , получаем формулы для перевода комплексных чисел из алгебраической формы в показательную

, . (4.2)

В задачах электротехники пределы изменения обычно выбирают в пределах от до и вычисляют по формуле

Для запоминания формул (4.1) и (4.2), предназначенных для перевода комплексных чисел из одной формы записи в другую, можно использовать треугольник, похожий на треугольник сопротивлений (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Треугольник, иллюстрирующий зависимости между действительной и мнимой частями комплексного числа, с одной стороны, и его модулем и аргументом, с другой стороны

Комплексный ток

В электрической цепи с источником синусоидального напряжения протекают синусоидальные токи. Пусть один из них равен

,

где I — действующее значение тока. Запишем соответствующую косинусоидальную функцию

.

Затем с помощью формулы Эйлера составим комплексную функцию

.

Множитель одинаков для всех токов цепи. Комплексное число характеризует ток рассматриваемой ветви.

Комплексное напряжение

Синусоидальному напряжению можно сопоставить комплексное напряжение аналогично тому, как синусоидальному току был поставлен в соответствие комплексный ток:

.

Здесь U – действующее значение напряжения; — его начальная фаза.

Преобразование синусоидальных токов и напряжений в комплексные числа (комплексные токи и напряжения) позволяет преобразовать тригонометрические уравнения, составленные по законам Кирхгофа для синусоидальных токов и напряжений, в алгебраические уравнения для комплексных токов и напряжений. Благодаря тому, что в уравнениях для комплексных токов можно опустить множитель , общий для всех токов, решение алгебраических уравнений оказывается не столь громоздким, как решение тригонометрических уравнений. Решив систему уравнений Кирхгофа относительно комплексных токов, можно затем по комплексным токам определить синусоидальные токи.

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

В помощь тем, кто начал изучать электротехнику и иногда путается в расчетах комплексных токов и напряжений, и создан этот калькулятор.

Напомним, что мгновенное значения переменного тока может быть выражено в виде гармонического колебания

где — какой либо момент времени

Таким же способом можно представить и мгновенное значения напряжения

Если мы попытаемся оценить какой же среднее значение тока будет за какой то определенный период, мы столкнемся с определенными трудностями.

Так как мгновенный ток за период может принимать как положительные так и отрицательные значения, то сложив их, мы получим что среднее значения тока равно нулю. Но такого быть не может…

Ток прошедший за этот период, сделал же какую то работу, он же не мог исчезнуть без ничего, не оставив следов.

Какую же работу может сделать ток прошедший через проводник? Самый простой и ощущаемый процесс это нагревание проводника. А по закону Джоуля-Ленца, который определяет сколько же электрической энергии уходит в тепловую, есть связь между нагревом(выделением теплоты) и проходящим через проводник значением тока.

Таким образом экспериментально, а потом уже и теоретически определили, что между амплитудой тока и «средним» значением ( правильно его назвать действующим ) есть простое соотношение.

Именно действующее значении тока, выполняет работу и участвует в вычислениях мощности. Именно это значение показывает вольтметр когда мы измеряем напряжение переменного тока.

Такие же рассуждения насчет напряжения приводят нас к подобной формуле.

Мы также гармоническое колебание можем представить в комплексном виде ( показательной форме )

Это не наша прихоть. Это лишь желание упростить вычисления которые встречаются в электротехнике.

Например при сложении двух периодически изменяющихся значений тока, лучше использовать векторное сложение. А что такое векторное сложение, как не работа с комплексными числами? И так во всем в электротехнике.

Поэтому мы можем значение действительного тока выразить вот так

Тогда, зная комплексные значения тока или напряжения в виде ,мы можем узнать модуль действительной величины тока , а также начальную фазу

Комплекс действующего значения

Изображение синусоидальных токов и напряжений с помощью векторов на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда.

Комплекс действующего значения

Мы уже изображали токи и напряжения в виде векторов, остается лишь взять комплексную плоскость:

В отличие от математики, мнимая единица обозначается буквой , т.к. обозначает мгновенное значение тока.

Длина комплексного вектора равна амплитудному или действующему значению. В первом случае её называют комплексной амплитудой

, во втором –
комплексом действующего значения
. Угол поворота соответствует фазе .

Как известно из математики, комплексные числа имеют две основные формы записи: алгебраическая и показательная (экспоненциальная). Есть ещё тригонометрическая форма, но она является как бы переходом от показательной к алгебраической, поэтому ей не уделяют внимание.

– это комплексная амплитуда в показательной форме записи.

Это не простое комплексное число, это временная функция, поэтому, для того, чтобы отличить её от простых комплексных чисел, которые обозначают подчёркиванием, комплексную амплитуду обозначают точкой вверху.

Чтобы получить комплекс действующего значения, нужно комплексную амплитуду поделить на :

Это тоже комплексная функция времени, поэтому обозначается точкой вверху.

Аналогично токам вводятся комплексные амплитуды и комплексы действующих значений напряжений.

Для того чтобы перейти от комплексов к мгновенным значениям, нужно взять проекции комплексной амплитуды на мнимую ось:

Вектор комплексной амплитуды, также как вектор комплекса действующего значения, вращается на комплексной плоскости с угловой частотой (циклической частотой) . Работать с такими векторами невозможно. Чтобы остановить этот вектор, берут время = 0: ; тогда

Переход от показательной формы к алгебраической осуществляется через тригонометрическую форму. Необходимо взять проекции комплексного вектора на действующую ось – , и на мнимую ось .

Для перехода от алгебраической формы к экспоненциальной используется следующая формула:

Внимание. Эта формула работает, если вектор находится в I или IV четверти комплексной плоскости, т.е. когда , если (вектор находится во II или III четверти), тогда нужно пользоваться другой формулой:

т.е. умножение комплексного вектора на эквивалентно его повороту на комплексной плоскости на раз, а умножение на –

эквивалентно повороту на раз.

Синусоидальным периодическим функциям токов и напряжений можно поставить в соответствие временные функции на комплексной плоскости, которые называются изображениями и несут всю информацию о реальных функциях (токов и напряжений), об их амплитудах и фазах, поэтому для комплексных функций выполняются законы Кирхгофа. Сложение, вычитание, деление, умножение, дифференцирование и интегрирование реальных функций можно заменить на те же операции с комплексными изображениями.

Дата добавления: 2016-05-28; просмотров: 6512; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Узнать еще:

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Первое упоминание о «мнимых» числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел относится еще к XVI веку. Итальянский ученый Джироламо Кардано (1501-1576) в 1545 году опубликовал работу, в которой, пытаясь решить уравнение

, он пришел к выражению

. Через это выражение представлялись действительные корни уравнения:

Таким образом, в работе Кардано мнимые числа появились как промежуточные члены в вычислениях. Заслуга Кардано состояла в том, что он допустил существование «несуществующего» числа

, введя правило умножения:

все остальное стало делом техники.

Однако еще три столетия математики привыкали к этим новым «мнимым» числам, время от времени пытаясь от них избавиться. Только с XIX века, после выхода в свет работ Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), посвященных доказательству основной теоремы алгебры, комплексные числа прижились в науке.

Комплексные числа – один из наиболее подходящих разделов курса математического анализа для реализации профессиональной направленности бакалавров по направлению подготовки Информатика и вычислительная техника. При изучении комплексных чисел необходимо учитывать применение математических знаний в общетехнических и специальных дисциплинах, в частности электротехнике. Применение комплексных чисел дает возможность использовать законы, формулы и методы расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока, упростить некоторые расчеты, заменив графическое решение с использованием векторов алгебраическим решением, рассчитывать сложные цепи, которые другим путем решить нельзя, упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.

При расчетах цепей приходится проводить математические операции с комплексными числами, поэтому студенты должны уметь выполнять следующие операции: 1) находить модуль и аргумент комплексного числа и комплексное число по модулю и аргументу; 2) переводить комплексное число из одной формы в другую; 3) производить сложение и вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

Помимо этого, очень важно научить строить кривую и вектор по уравнению синусоиды, вектор по комплексному числу, определять комплексное число по вектору и уравнению, уравнение по комплексному числу.

В электротехнике тема «Переменный ток» занимает значительное место. Это объясняется тем, что большинство электротехнических установок работает на переменном токе, который изменяется синусоидально.

Уравнение переменного напряжения имеет вид

, где u – мгновенное значение напряжения;

–максимальное значение (амплитуда) напряжения; w

– угловая частота
;t
– время
;

– начальный фазовый угол
;

– электрический угол
.
Это уравнение связывает две переменные величины: напряжение
u
и время
t
. С течением времени напряжение изменяется синусоидально.

Аналогичный вид имеют уравнения и других синусоидально изменяющихся величин: тока

, э.д.с.

и т.д.

При расчете цепей переменного тока приходится использовать синусоидально изменяющиеся величины, т.е. производить сложение, вычитание, умножение и деление уравнений указанного выше типа.

Сложение синусоидальных величин трудоемко, особенно если приходится складывать большое число уравнений. Синусоидальная величина однозначно представлена вращающимся вектором, длина которого равна амплитуде, а начальное положение определяется углом , вращение вектора происходит с угловой скоростью w

. Операции производятся с уравнениями, имеющими одинаковую угловую частоту, то есть все векторы, заменяющие уравнения, вращаются с одинаковой угловой скоростью. Следовательно, их взаимное расположение не меняется, отпадает необходимость вращения векторов. Так как векторы заменяют синусоидальные величины, то сложение или вычитание, возможно, заменить сложением или вычитанием векторов.

Переменная синусоидальная величина обладает свойствами:

1. Переменная синусоидальная величина может быть однозначно представлена вектором. Длина вектора равна амплитуде; угол наклона равен начальному фазовому углу.

2. Сложение (и вычитание) синусоидальных величин можно заменить сложением (и вычитанием) векторов.

Кроме сложения и вычитания синусоидальные величины приходится умножать и делить. И здесь на помощь приходят комплексные числа.

Комплексное число может быть изображено на плоскости вектором, длина которого равна модулю комплексного числа, а угол наклона – аргументу. В электротехнике в отличие от математики мнимая единица обозначается буквой j

. Если имеется комплексное число
A=a+jb,
то его можно представить вектором, где

– модуль комплексного числа;

– аргумент комплексного числа.

Комплексное число имеет три формы: алгебраическую – A=a+jb;

; показательную –

Комплексное число однозначно представлено вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число.

Таким образом, если переменная синусоидальная величина может быть представлена вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число, то переменная синусоидальная величина может быть представлена комплексным числом.

Такие величины как: напряжение и ток, сопротивление и проводимость, мощность выражаются комплексными числами.

Напряжение и ток.

. В электротехнике за длину вектора берется не максимальное, а действующее значение. Оно обозначается большой буквой
U
без индекса и вычисляется путем деления максимального значения на

Синусоидальная величина, выраженная комплексным числом, называется комплексом

и обозначается прописной буквой с точкой наверху

. Комплекс напряжения можно написать в трех формах алгебраической –

, тригонометрической –

и показательной –

.
Таким образом, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения, реактивная – мнимой части.

Аналогично для тока:

,

,

Дано: ток в комплексной форме

Написать уравнение тока.

Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока:

,

,

,

.

Сопротивление и проводимость.

Имеется цепь (рис. 1):
r
– активное сопротивление (лампа накаливания);

– индуктивное сопротивление (катушка);
z
– общее сопротивление цепи, называемое полным.

Сопротивления r, ,
z
образуют прямоугольный треугольник сопротивления (рис. 2). Угол

– угол сдвига фаз. Сопротивления не являются синусоидальными величинами, однако отрезок
z
может быть выражен комплексным числом, считая, что отрезок
r
откладывается по оси вещественных чисел, а отрезок – по оси мнимых чисел.

Сопротивление в комплексной форме обозначается буквой Z

. Для цепи на рис.2 комплекс сопротивления записывается:

– тригонометрическая форма;

. Таким образом, в комплексе сопротивления модуль равен полному сопротивлению, а аргумент – сдвигу фаз.

Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

– комплекс мощности, – сопряженный комплекс тока.

После умножения получим комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности:

, где P – активная мощность, Q – реактивная мощность.

. Определить активную P и реактивную Q мощность.

Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для этого найдем модуль и аргумент тока и напряжения:

,

,

,

,

Определим сопряженный комплекс тока:

Найдем активную и реактивную мощности: P=975Вт, Q=171 вар.

Алгебраическая форма комплексного числа удобна при сложении и вычитании, показательная – при умножении и делении; тригонометрическая служит для перевода показательной формы в алгебраическую.

На занятиях преподаватели могут использовать примеры, не вдаваясь углубленно в электротехнику, задания рассматривая их только с математической точки зрения. В качестве дополнительного материала, самостоятельной работы можно предложить задания типа:

Найти модуль и аргумент комплексного числа.

; б)

; в)

.

Написать комплексные числа в показательной и алгебраической формах.

;г)

; е)

Перевести алгебраическую форму комплексного числа в показательную и наоборот.

1. Выполнить сложение, умножение, деление комплексных чисел.

; б)

; в)

.

Данная статья поможет преподавателям математики разобраться в вопросе о приложении комплексных чисел в электротехнических расчетах.

Как преобразовать мгновенную форму записи в комплексную и обратно

В общем случае мгновенная форма записи любой величины выглядит следующим образом:

u(t) = Um·sin(ωt+ϕ)

Эта запись показывает как меняется та или иная величина в зависимости от времени. Вместо синуса может быть косинус, это ничего в дальнейших действиях не меняет.

Обратим внимание, что перед тригонометрической фунцкией всегда записывается амплитудное (то есть максимально возможное значение) величины. При этом в электротехнике в большинстве случаев расчеты ведутся в действующих, а не амплитудных значениях. Если нужны амплитудные, то это указывается в условиях задания.

Проще всего от мгновенной формы сразу перейти к показательной форме записи комплексного числа. Для этого запишем модуль числа, умноженный на «e», в стемени которой указан угол начальной фазы «ф»:

Разумеется, это будет амплитудное значение. Чтобы перевести в действующее достаточно вспомнить, что оно меньше амплитудного в √2 раза, тогда получим:

Рассмотрим пример. Задано мгновенное значение тока цепи:

Необходимо записать в комплексной форме его действующее значение. Как указано выше, запишем:

Как видите, множитель 314 перед переменной времени «t» в преобразованиях не участвует.

Преобразование из показательной формы записи комплексного числа в мгновенную форму производится, используя те же вычисления в обратном порядке. Предположим, задано действующее значение напряжения:

Сначала определим амплитудное значение напряжения, умножив модуль действующего значения на √2:

Записываем мгновенную форму, используя рассчитанную амплитуду и угол начальной фазы, известный из показательной формы записи:

Циклическую частоту цепи ω определить из комплексного числа невозможно, поэтому ее или просто записывают греческой буквой «омега» или определяют из дополнительных условий — например, из указанной частоты цепи.

Итак, простой алгоритм перевода мгновенной формы записи величины в показательную форму комплексного числа:

И последнее — вы наверняка обратили внимание, что мы переводим в показательную форму записи. Что же делать, если надо переводить в алгебраическую? Все очень просто — сначала переводим в показательную, а потом уже из нее, по формуле Эйлера, в алгебраическую. Об этом подробно мы уже писали: