Как найти напряжение на выходе цепи

19

Найти выходное напряжение

Чему равно выходное напряжение?
Еще раз доброго дня всем. Еще одна задача которую я так и не смог решить. Для начала хотелось бы.

Найти выходное напряжение
Можете написать одну из программ,изображенных на картинке для нахождения выходного напряжения .

Найти выходное напряжение
Помогите решить задачу, необходимо найти выходное напряжение

Сообщение было отмечено Evgen57 как решение

Решение

Преобразуй треугольник в звезду и всё будет просто.

Добавлено через 27 минут
Получится около 3,92 В.

Сообщение от Hant
Сообщение от Evgen57

Тогда получается:
R1 = 1903 Ом
R2 = 4049 Ом
R3 = 1903 Ом

Добавлено через 4 минуты
В знаменателе 1/(R1+R4)

Добавлено через 3 минуты
Если не понятно,то (1/R2+1/R3+1/(R1+R4)

Так? или где-то ошибся?

Найти выходное напряжение в RC цепи
заданы начальные условия цепи. я написал для выходного напряжения формулу, но по ней не считает .

Входное напряжение и выходное напряжение
Доброго времени суток! Можно своими словами объяснить что это значит. Разве напряжение не одно?

Выходное напряжение БП 15,5 в
Здравствуйте. Программы мониторинга (aida64, HWMonitor) показывают, что у бп на 12в линии.

Выходное напряжение цепи
Доброго времени суток! Не могу рассчитать Uвых., как я понял нужно это сделать через коэффициент.

STM8L152K6 выходное напряжение DAC
Здравствуйте. Пытаюсь разобраться c ЦАП. Могу на выходе получить только 2В при записи.

Модуль управления EVO-|| выходное напряжение 4.6 в
Модуль управления EVO-|| выходное напряжение 4.6в как по мне этого мало но стоит ли лезть в бп .

Вычисление напряжения на выходе цепи.

На вход цепи, изображенной на рис.1, подается сигнал U₁(t), приведенный на рис.2..Нужно вычислить реакцию этой цепи на данный сигнал.

1.1. Для того чтобы посчитать реакцию цепи на вышеуказанный входной сигнал нужно посчитать переходную характеристику цепи.

Вычислим переходную характеристику цепи (реакция на единичный импульсный сигнал):

U₂(_ПР) = В

Общая формула для нахождения переходной характеристики цепи

Для нахождения р запишем характеристическое уравнение:

Z(p) =

Приравняем к нулю и получим:

3R+2Pl=0 , следовательно, 2pL= -3R

p= =-1500 c -1

Получим переходную характеристику

1.2. Для того чтобы вычислить значения u2(t) с помощью программы dml, посчитаем скачки напряжений и производные поведения сигнала.

Найдем скачки напряжений на входном сигнале в моменты времени t=0 мс, t₁₌2 мс, t₂= 4 мс:

Найдем производные поведения сигнала на участках

1.3. Запишем интеграл Дюамеля для участков цепи:

U₂(t)= U₂(0)g_u(t)+=832.5t-0.555+0.555e -1500t

U₂(t)= U₂(0)g_u(t)++ U₂(t₁)g_u(t-t₁)+=-1.665+ +56.2925e -1500t

U₂(t)= U₂(0)g_u(t)++ U₂(t₁)g_u(t-t₁)++ U₂(t₂)g_u(t-t₂ )+ +=-615.4175e -1500t

1.4. Реакция цепи на входной сигнал.

Подставляя полученные данные в программу DML, получаем следующие значения U₂(t):

Ток и напряжение при параллельном, последовательном и смешанном соединении проводников

Реальные электрические цепи чаще всего включают в себя не один проводник, а несколько проводников, как-то соединенных друг с другом. В самом простом виде электрическая цепь имеет только «вход» и «выход», то есть два вывода для соединения с другими проводниками, через которые заряд (ток) имеет возможность втекать в цепь и из цепи вытекать. При установившемся токе в цепи, значения величин токов на входе и на выходе будут одинаковы.

Если взглянуть на электрическую цепь, включающую в себя несколько разных проводников, и рассмотреть на ней пару точек (вход и выход), то в принципе остальная часть цепи может быть рассмотрена как одиночный резистор (по ее эквивалентному сопротивлению).

При таком подходе говорят, что если ток I – это ток в цепи, а напряжение U – напряжение на выводах, то есть разность электрических потенциалов между точками «входа» и «выхода», то тогда отношение U/I можно рассмотреть как величину эквивалентного сопротивления R цепи целиком.

Если закон Ома выполняется, то эквивалентное сопротивление можно вычислить довольно легко.

Ток и напряжение при последовательном соединении проводников

В простейшем случае, когда два и более проводников объединены друг с другом в последовательную цепь, ток в каждом проводнике окажется одним и тем же, а напряжение между «выходом» и «входом», то есть на выводах всей цепи, будет равным сумме напряжений на составляющих цепь резисторах. И поскольку закон Ома справедлив для любого из резисторов, то можно записать:

Итак, для последовательного соединения проводников характерны следующие закономерности:

Для нахождения общего сопротивления цепи, сопротивления составляющих цепь проводников складываются;

Ток через цепь равен току через любой из проводников, образующих цепь;

Напряжение на выводах цепи равно сумме напряжений на каждом из проводников, образующих цепь.

Ток и напряжение при параллельном соединении проводников

При параллельном соединении нескольких проводников друг с другом, напряжение на выводах такой цепи — это напряжение на каждом из проводников, составляющих цепь.

Напряжения на всех проводниках равны между собой и равны напряжению приложенному (U). Ток через всю цепь — на «входе» и «выходе» — равен сумме токов в каждой из ветвей цепи, параллельно объединенных и составляющих данную цепь. Зная, что I = U/R, получаем, что:

Итак, для параллельного соединения проводников характерны следующие закономерности:

Для нахождения общего сопротивления цепи — складываются обратные величины сопротивлений составляющих цепь проводников;

Ток через цепь равен сумме токов через каждый из проводников, образующих цепь;

Напряжение на выводах цепи равно напряжению на любом из проводников, образующих цепь.

Эквивалентные схемы простых и сложных (комбинированных) цепей

В большинстве случаев схемы цепей, являясь комбинированным соединением проводников, поддаются пошаговому упрощению.

Группы соединенных последовательно и параллельно частей цепи, заменяют эквивалентными сопротивлениями по приведенному выше принципу, шаг за шагом вычисляя эквивалентные сопротивления кусочков, затем приводя их к одному эквивалентному значению сопротивления всей цепи.

И если сначала схема выглядит довольно запутанной, то будучи упрощенной шаг за шагом, она может быть разбита на меньшие цепочки из последовательно и параллельно соединенных проводников, и так в конце концов сильно упрощена.

Между тем, не все схемы подаются упрощению таким простым путем. Простая с виду схема «моста» из проводников не может быть исследована таким образом. Здесь нужно применять уже несколько правил:

Для каждого резистора выполняется закон Ома;

В любом узле, то есть в точке схождения двух и более токов, алгебраическая сумма токов равна нулю: сумма токов втекающих в узел, равна сумме токов вытекающих из узла (первое правило Кирхгофа);

Сумма напряжений на участках цепи при обходе по любому пути от «входа» до «выхода» равна приложенному к цепи напряжению (второе правило Кирхгофа).

Мостовое соединение проводников

Дабы рассмотреть пример использования приведенных выше правил, рассчитаем цепь, собранную из проводников, объединенных в схему моста. Чтобы вычисления получились не слишком сложными, примем, что некоторые из сопротивлений проводников равны между собой.

Обозначим направления токов I, I1, I2, I3 на пути от «входа» в цепь — к «выходу» из цепи. Видно, что схема симметрична, поэтому токи через одинаковые резисторы одинаковы, поэтому обозначим их одинаковыми символами. В самом деле, если поменять у цепи местами «вход» и «выход», то схема будет неотличима от исходной.

Для каждого узла можно записать уравнения токов, исходя из того, что сумма токов втекающих в узел равна сумме токов вытекающих из узла (закон сохранения электрического заряда), получится два уравнения:

Следующим шагом записывают уравнения сумм напряжений для отдельных участков цепи при обходе цепи от входя к выходу различными путями. Так как схема является в данном примере симметричной, то достаточно двух уравнений:

В процессе решения системы линейных уравнений, получается формула для нахождения величины тока I между зажимами «входным» и «выходным», исходя из заданного приложенного к цепи напряжения U и сопротивлений проводников:

А для общего эквивалентного сопротивления цепи, исходя из того, что R = U/I, следует формула:

Можно даже проверить правильность решения, например приведя к предельным и к частным случаям величины сопротивлений:

Теперь вы знаете, как находить ток и напряжение при параллельном, последовательном, смешанном, и даже при мостовом соединении проводников, применяя закон Ома и правила Кирхгофа. Эти принципы очень просты, и даже самая сложная электрическая цепь с их помощью в конце концов приводится к элементарному виду путем нескольких несложных математических операций.

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Закон Ома мало знать, его нужно и понимать

Некоторые из моих читателей закон Ома знают, но не умеют применять его на практике.

Возьмём для примера вот эту формулу:

P =I *U (электрическая мощность электроприбора равна произведению тока, который протекает через этот электроприбор, на напряжение, которое к этому электроприбору приложено).

Для того, что бы узнать, какой ток будет протекать в нагрузке (в цепи), нужно мощность разделить на напряжение, I =P /U . Сопротивлением проводов, которыми электрический прибор подключается к сети, при расчёте тока в нагрузке можно пренебречь.

Для расчетов при наличии однофазного тока значение напряжения принимается 220 вольт. Если присутствует трехфазный ток, расчетное напряжение составит 380 вольт.

Здравствуйте уважаемые подписчики и читатели канала «Электрик со стажем».

Номинальное напряжение сети

Номинальное напряжение — это базисное напряжение из стандартизированного ряда напряжений, определяющих уровень изоляции сети и электрооборудования. Действительные напряжения в различных точках системы могут несколько отличаться от номинального.

Для электрических сетей трехфазного переменного тока напряжением до 1 кВ и присоединенным к ним источников и приемников электроэнергии установлены следующие значения номинальных напряжений:

Значение 230/400 В является результатом эволюции систем 220/380 В и 240/415 В, которые завершили использовать в Европе и во многих других странах. Однако системы 220/380 В и 240/415 В до сих пор продолжают применять.

Номинал напряжения в 220 В будет допускать отклонение напряжения в пределах от 198 В до 242 В (в розетке). В то же время, новый номинал в 230 В будет иметь разброс от 207 В до 253 В (в розетке).

Ток в цепи при неизменной мощности электроприбора

Возьмём, для примера, стиральную машинку. Подключим её к розетке.

Калькулятор напряжения – расчет по току, сопротивлению, мощности

Расчет электрического напряжения по току, сопротивлению, мощности с помощью калькулятора – рассчитайте напряжение онлайн и по формулам.

Используйте калькулятор напряжения для расчета вольтажа сети по известным значениям силы тока, сопротивления, мощности. Алгоритм программы выполняет подсчеты по формулам закона Ома для участка цепи. Чтобы получить результат, выберите необходимый тип операции, заполните поля и нажмите кнопку «Рассчитать».

Смежные нормативные документы:

• СП 256.1325800.2016 «Электроустановки жилых и общественных зданий. Правила проектирования и монтажа»
• СП 31-110-2003 «Проектирование и монтаж электроустановок жилых и общественных зданий»
• СП 76.13330.2016 «Электротехнические устройства»
• ГОСТ 31565-2012 «Кабельные изделия. Требования пожарной безопасности»
• ГОСТ 10434-82 «Соединения контактные электрические. Классификация»
• ГОСТ Р 50571.1-93 «Электроустановки зданий»

Формулы расчета напряжения

Электрическое напряжение (U) — это скалярная физическая величина, которая равна работе электрического поля по перемещению заряда из одной точки цепи к другой. Международная единица измерения — Вольт (В / V).

— Напряжение по току и сопротивлению: U = I × R
— Напряжение по току и мощности: U = P / I
— Напряжение по мощности и сопротивлению: U = √(P × R)

Электрический ток. Закон Ома для цепей постоянного и переменного тока.

Онлайн расчёт электрических величин напряжения, тока и мощности для участка цепи,
полной цепи, цепи с резистивными, ёмкостными и индуктивными элементами.
Теория и практика для начинающих.

Начнём с терминологии.
Электрический ток — это направленное движение заряженных частиц, при котором происходит перенос заряда из одной области электрической цепи в другую.
Силой электрического тока (I) является величина, которая численно равна количеству заряда Δq, протекающего через заданное поперечное сечение проводника S за единицу времени Δt: I = Δq/Δt.
Напряжение электрического тока между точками A и B электрической цепи — физическая величина, значение которой равно работе эффективного электрического поля, совершаемой при переносе единичного пробного заряда из точки A в точку B.
Омическое (активное) сопротивление — это сопротивление цепи постоянному току, вызывающее безвозвратные потери энергии постоянного тока.
Теперь можно переходить к закону Ома.

Закон Ома был установлен экспериментальным путём в 1826 году немецким физиком Георгом Омом и назван в его честь. По большому счёту, Закон Ома не является фундаментальным законом природы и может быть применим в ограниченных случаях, определяющих зависимость между электрическими величинами, такими как: напряжение, сопротивление и сила тока исключительно для проводников, обладающих постоянным сопротивлением. При расчёте напряжений и токов в нелинейных цепях, к примеру, таких, которые содержат полупроводниковые или электровакуумные приборы, этот закон в простейшем виде уже использоваться не может.

Тем не менее, закон Ома был и остаётся основным законом электротехники, устанавливающим связь силы электрического тока с сопротивлением и напряжением.
Формулировка закона Ома для участка цепи может быть представлена так: сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению (разности потенциалов) на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению этого проводника и записана в следующем виде:
I=U/R,

где
I – сила тока в проводнике, измеряемая в амперах [А];
U – электрическое напряжение (разность потенциалов), измеря- емая в вольтах [В];
R – электрическое сопротивление проводника, измеряемое в омах [Ом].

Производные от этой формулы приобретают такой же незамысловатый вид: R=U/I и U=R×I.

Зная любые два из трёх приведённых параметров можно произвести и расчёт величины мощности, рассеиваемой на резисторе.
Мощность является функцией протекающего тока I(А) и приложенного напряжения U(В) и вычисляется по следующим формулам, также являющимся производными от основной формулы закона Ома:
P_(Вт) = U_(В)×I_(А) = I 2 _(А)×R_(Ом) = U 2 _(В)/R_(Ом)

Формулы, описывающие закон Ома, настолько просты, что не стоят выеденного яйца и, возможно, вообще не заслуживают отдельной крупной статьи на страницах уважающего себя сайта.

Не заслуживают, так не заслуживают. Деревянные счёты Вам в помощь, уважаемые дамы и рыцари!
Считайте, учитывайте размерность, не стирайте из памяти, что:

Единицы измерения напряжения: 1В=1000мВ=1000000мкВ;
Единицы измерения силы тока:1А=1000мА=1000000мкА;
Единицы измерения сопротивления:1Ом=0.001кОм=0.000001МОм;
Единицы измерения мощности:1Вт=1000мВт=100000мкВт.

Ну и так, на всякий случай, чисто для проверки полученных результатов, приведём незамысловатую таблицу, позволяющую в онлайн режиме проверить расчёты, связанные со знанием формул закона Ома.

ТАБЛИЦА ДЛЯ ПРОВЕРКИ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЁТОВ ЗАКОНА ОМА.

Вводить в таблицу нужно только два имеющихся у Вас параметра, остальные посчитает таблица.

Все наши расчёты проводились при условии, что значение внешнего сопротивления R значительно превышает внутреннее сопротивление источника напряжения r_внутр .
Если это условие не соблюдается, то под величиной R следует принять сумму внешнего и внутреннего сопротивлений: R = R_внешн + r_внутр , после чего закон приобретает солидное название — закон Ома для полной цепи:
I=U/(R+r) .

Для многозвенных цепей возникает необходимость преобразования её к эквивалентному виду:

Значения последовательно соединённых резисторов просто суммируются, в то время как значения параллельно соединённых резисторов определяются исходя из формулы: 1/R_ll = 1/R₄+1/R₅ .
А онлайн калькулятор для расчёта величин сопротивлений при параллельном соединении нескольких проводников можно найти на странице ссылка на страницу.

Теперь, что касается закона Ома для переменного тока.
Если внешнее сопротивление у нас чисто активное (не содержит ёмкостей и индуктивностей), то формула, приведённая выше, остаётся в силе.
Единственное, что надо иметь в виду для правильной интерпретации закона Ома для переменного тока — под значением U следует понимать действующее (эффективное) значение амплитуды переменного сигнала.

А что такое действующее значение и как оно связано с амплитудой сигнала переменного тока?
Приведём диаграммы для нескольких различных форм сигнала.

Слева направо нарисованы диаграммы синусоидального сигнала, меандра (прямоугольный сигнал со скважностью, равной 2), сигнала треугольной формы, сигнала пилообразной формы.
Глядя на рисунок можно осмыслить, что амплитудное значение приведённых сигналов — это максимальное значение, которого достигает амплитуда в пределах положительной, или отрицательной (в наших случаях они равны) полуволны.

Рассчитываем действующее значение напряжение интересующей нас формы:

Для синуса U = Uд = Uа/√2;
для треугольника и пилы U = Uд = Uа/√3;
для меандра U = Uд = Uа.

Теперь посмотрим, как будет выглядеть формула закона Ома при наличии индуктивности или ёмкости в цепи переменного тока.
В общем случае смотреться это будет так:

А формула остаётся прежней, просто в качестве сопротивления R выступает полное сопротивление цепи Z, состоящее из активного, ёмкостного и индуктивного сопротивлений.
Поскольку фазы протекающего через эти элементы тока не одинаковы, то простым арифметическим сложением сопротивлений этих трёх элементов обойтись не удаётся, и формула приобретает вид:
Реактивные сопротивления конденсаторов и индуктивностей мы с Вами уже рассчитывали на странице ссылка на страницу и знаем, что величины эти зависят от частоты, протекающего через них тока и описываются формулами: X_C = 1/(2πƒС) , X_L = 2πƒL .

Нарисуем таблицу для расчёта полного сопротивления цепи для переменного тока.
Количество вводимых элементов должно быть не менее одного, при наличии индуктивного или емкостного элемента — необходимо указать значение частоты f !

КАЛЬКУЛЯТОР ДЛЯ ОНЛАЙН РАСЧЁТА ПОЛНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ.

Теперь давайте рассмотрим практический пример применения закона Ома в цепях переменного тока и рассчитаем простенький бестрансформаторный источник питания.

Токозадающими цепями в данной схеме являются элементы R1 и С1.

Допустим, нас интересует выходное напряжение Uвых = 12 вольт при токе нагрузки 100 мА.
Выбираем стабилитрон Д815Д с напряжением стабилизации 12В и максимально допустимым током стабилизации 1,4А.
Зададимся током через стабилитрон с некоторым запасом — 200мА.
С учётом падения напряжения на стабилитроне, напряжение на токозадающей цепи равно 220в — 12в = 208в.
Теперь рассчитаем сопротивление этой цепи Z для получения тока, равного 200мА: Z = 208в/200мА = 1,04кОм.
Резистор R1 является токоограничивающим и выбирается в пределах 10-100 Ом в зависимости от максимального тока нагрузки.
Зададимся номиналами R1 — 30 Ом, С1 — 1 Мкф, частотой сети f — 50 Гц и подставим всё это хозяйство в таблицу.
Получили полное сопротивление цепи, равное 3,183кОм. Многовато будет — надо увеличивать ёмкость С1.
Поигрались туда-сюда, нашли нужное значение ёмкости — 3,18 Мкф, при котором Z = 1,04кОм.

Всё — закон Ома выполнил свою функцию, расчёт закончен, всем спать полчаса!

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Реальный источник электрической энергии можно изобразить двояко: а) в виде генератора напряжения, который характеризуется э.д.с. Е, численно равной напряжению холостого хода источника, и включенной последовательно с сопротивлением r₀ (рис. 1, а), б) в виде генератора тока, который характеризуется током I_к, численно равным току короткого замыкания реального источника, и параллельно соединенной проводимостью g₀ (рис. 1, б).

Переход от генератора напряжения к эквивалентному генератору тока осуществляется по формулам

I к = E r 0 ,         g 0 = 1 r 0 , (1)

а обратный переход от генератора тока к эквивалентному генератору напряжения по следующим формулам

E = I к g 0 ,         r 0 = 1 g 0 . (2)

У идеального генератора напряжения внутреннее сопротивление равно нулю, тогда как у идеального генератора тока внутренняя проводимость равна нулю.

2. Закон Ома

Закон Ома применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений).

Для написания закона Ома следует прежде всего выбрать произвольно некоторое положительное направление для тока.

а) Для ветви, состоящей только из сопротивлений и не содержащей э.д.с. (например, для ветви mn на рис. 2), при положительном направлении для тока от точки m к точке n ток равен

I = φ m − φ n r m n = U m n r m n . (3)

Здесь φ_m и φ_n — потенциалы точек m и n, U_mn = φ_m — φ_n — разность потенциалов или напряжение между точками m и n, r_mn = r₄ + r₅ — полное сопротивление ветви между точками m и n.

Пример — в задаче 17.

б) Для замкнутой одноконтурной цепи

где Σr — арифметическая сумма всех внешних и внутренних сопротивлений цепи, ΣE — алгебраическая сумма ее электродвижущих сил.

Со знаком плюс берут те э.д.с., направления которых совпадают с выбранным положительным направлением для тока, и со знаком минус — э.д.с. с противоположными направлениями.

Примеры — в задачах 15 и 17.

в) Для ветви, содержащей э.д.с. и сопротивления (например, для ветви acb на рис. 2),

I 1 = φ a − φ b + Σ E Σ r a b = U a b + E 1 − E 2 r 1 + r 2 + r 9 , (5)

где U_ab = φ_a — φ_b — напряжение на концах ветви acb, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока, ΣE — алгебраическая сумма э.д.с., находящихся в этой ветви, а Σr — арифметическая сумма ее сопротивлений.

Формулу (5) называют обобщенным законом Ома.

Примеры — в задачах 15 и 17.

3. Законы Кирхгофа

Для написания законов Кирхгофа следует прежде всего задаться положительными направлениями для токов в каждой ветви.

Первый закон Кирхгофа

∑ k = 1 n I k = 0, (6)

Алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю. Токи, притекающие к узлу, условно принимаются положительными, а вытекающие из него — отрицательными (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа

∑ k = 1 n I k ⋅ r k = ∑ k = 1 n E k . (7)

Алгебраическая сумма падений напряжений любого замкнутого контура равна алгебраической сумме э.д.с. в нем.

Направление обхода контура выбирается произвольно. При записи левой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления э.д.с. в этих ветвях), и со знаком минус — падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление, тока противоположно направлению обхода. При записи правой части равенства э.д.с., направления которых совпадают с выбранным направлением обхода (независимо от направления тока, протекающего через них), принимаются положительными, а э.д.с., направленные против выбранного направления обхода, принимаются отрицательными.

Пример — в задаче 29.

Распределение напряжений при последовательном соединении двух сопротивлений (см. рис. 2)

I 1 = U 1 r 1 = U 2 r 2 = U r 1 + r 2 ,

U 1 = U ⋅ r 1 r 1 + r 2 ,       U 2 = U ⋅ r 2 r 1 + r 2 . (8)

Распределение токов в двух параллельных ветвях — формула разброса токов или формула делителя токов (рис. 3)

U 2 = U 3 = U 2,3 ,         I 2 ⋅ r 2 = I 3 ⋅ r 3 = I 1 ⋅ r 2,3 = I 1 ⋅ r 2 ⋅ r 3 r 2 + r 3 ,

I 2 = I 1 ⋅ r 3 r 2 + r 3 ,           I 3 = I 1 ⋅ r 2 r 2 + r 3 . (9)

Распределение напряжений при последовательном соединении n сопротивлений

U k = U ⋅ r k ∑ k = 1 n r k .

Распределение токов в n параллельных ветвях

I k = I ⋅ g k ∑ k = 1 n g k .

4. Методы расчета сложных цепей постоянного тока

Пусть электрическая цепь состоит из p ветвей и имеет q узлов.

Применение законов Кирхгофа

Прежде всего, устанавливается число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (p). Для каждой ветви задаются положительным направлением для тока.

Число n₁ независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы

Число n₂ независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно числу ячеек (контуров)

n₂ = p — q + 1.

Общее число уравнений n, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов

n = n₁ + n₂ = p.

Решение этой системы уравнений дает значения искомых токов.

Пример — в задаче 29.

Метод контурных токов (МКТ, Максвелла).

Число n независимых контуров цепи равно числу уравнений по второму закону Кирхгофа

n = n₂ = p — q + 1.

Расчет цепи методом контурных токов, состоящей из n независимых контуров, сводится к решению системы из n уравнений, составляемых для контурных токов I₁₁, I₂₂, …, I_nn; ток в каждой ветви находится как алгебраическая сумма контурных токов, обтекающих эту ветвь.

Выбор направлений контурных токов произволен. Каждая из ветвей сложной электрической цепи должна войти хотя бы в один контур.

Система уравнений МКТ для n контурных токов имеет вид

Здесь r_kk — собственное сопротивление контура k (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур k), r_kl — общее сопротивление контуров k и l, причем r_kl = r_lk; если направления контурных токов в ветви, общей для контуров k и l, совпадают, то r_kl положительно (r_kl > 0), в противном случае r_kl — отрицательно (r_kl < 0); E_kk — алгебраическая сумма э.д.с., включенных в ветви, образующие контур k.

Пример — в задаче 41.

Метод узловых потенциалов (МУП)

Число n независимых узлов цепи равно числу уравнений по первому закону Кирхгофа

n = n₁ = q — 1.

Для определения потенциалов всех узлов электрической схемы, имеющей q узлов, следует принять потенциал одного из узлов равным нулю, а для определения потенциалов остальных n = q — 1 узлов составляется следующая система уравнений

Здесь g_ss — сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; g_sq — сумма проводимостей, соединяющих узел s с узлом q; – алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, примыкающих к узлу s, на их проводимости (т.е. токов короткого замыкания этих ветвей); при этом со знаком плюс берутся те из произведений Eg, в ветвях которых э.д.с. действуют в направлении узла s, и со знаком минус — в направлении от узла.

Определив потенциалы узлов, находят токи в ветвях посредством закона Ома.

Этим методом рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений здесь будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Примеры — в задачах 44 и 45.

Метод наложения

Ток в любой ветви может быть рассчитан как алгебраическая сумма токов, вызываемых в ней каждой э.д.с. в отдельности. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет для какой-либо одной действующей э.д.с., то вместо остальных источников должны быть включены сопротивления, равные внутренним сопротивлениям этих источников.

Примеры — в задачах 47 и 49.

Метод эквивалентных преобразований

Во всех случаях применения метода эквивалентных преобразований замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

1) Замена последовательных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления последовательны, если они обтекаются одним и тем же током. Например, на схеме цепи, изображенной на рис. 2, сопротивления r₁, r₂ и r₉ соединены последовательно; так же последовательны сопротивления r₇ и r₈.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных участков, равно сумме этих сопротивлений этих участков

r э = r 1 + r 2 + … + r n = ∑ k = 1 n r k . (12)

2) Замена параллельных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления параллельны, если все они присоединены к одной паре узлов. Например (рис. 2), сопротивления r₄₅ = r₄ + r₅ и r₁₀ параллельны.

Эквивалентная проводимость цепи, состоящей из n параллельно соединенных ветвей равна сумме этих проводимостей этих ветвей. Эквивалентное сопротивление такой цепи находится как величина обратная эквивалентной проводимости этой цепи

1 r э = 1 r 1 + 1 r 2 + … + 1 r n = ∑ k = 1 n 1 r k . (13)

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений r₁ и r₂ эквивалентное сопротивление

r э = r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2 . (14)

3) Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешанное соединение — это сочетание последовательного и параллельного соединения сопротивлений. Например, сопротивления r₁, r₂ и r₃ (рис. 3) находятся в смешанном соединении. Их эквивалентное сопротивление равно

r э = r 1 + r 2,3 = r 1 + r 2 ⋅ r 3 r 2 + r 3 . (15)

При смешанном соединении сопротивлений токи ветвей цепи (рис. 3):

по формуле разброса токов (делителя токов)

I 2 = I 1 ⋅ r 3 r 2 + r 3 ,           I 3 = I 1 ⋅ r 2 r 2 + r 3 .

4) Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 4, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 4, б) и наоборот имеют вид

где g — проводимость соответствующей ветви.

Формулы (18) можно записать через сопротивления так

r 12 = r 1 + r 2 + r 1 ⋅ r 2 r 3 ;       r 23 = r 2 + r 3 + r 2 ⋅ r 3 r 1 ;       r 31 = r 3 + r 1 + r 3 ⋅ r 1 r 2 . (19)

Пример — в задаче 51.

Метод эквивалентного генератора напряжения (метод холостого хода и короткого замыкания или метод активного двухполюсника)

Для нахождения тока I в ветви ab, сопротивление которой r (рис. 5, а, буква А на рисунке обозначает активный двухполюсник), надо разомкнуть эту ветвь и при этом найти (любым способом) разность потенциалов на зажимах разомкнутой ветви — U_х (рис. 5, б). Затем надо вычислить сопротивление короткого замыкания r_к, равное эквивалентному сопротивлению всей остальной цепи, вычисленному в предположении, что в ней отсутствуют э.д.с. (при этом внутренние сопротивления источников сохраняются) и что она питается от постороннего источника, присоединенного непосредственно к зажимам a и b (рис. 5, в; буква П на рисунке обозначает пассивный двухполюсник).

Сопротивление r_к может быть вычислено либо непосредственно по схеме рис. 5, в, либо из соотношения

r к = U х I к , (20)

где I_к — ток короткого замыкания, протекающий по ветви ab, если ее сопротивление r сделать равным нулю (рис. 5, г).

Заданная схема (рис. 5, а) может быть заменена эквивалентным генератором напряжения с э.д.с. E = U_х и внутренним сопротивлением r_э = r_к, присоединенным к зажимам ab сопротивления r (рис. 5, д).

Ток в искомой ветви, имеющей сопротивление r, определяется из формулы закона Ома

I = U х r + r к . (21)

Примеры — в задачах 55 и 56.

Метод эквивалентного генератора тока

В предыдущем пункте показано, как в любой сложной цепи можно получить эквивалентный генератор напряжения с э.д.с. E и внутренним сопротивлением r_к. Этот генератор напряжения (рис. 5, д) на основании формул (1) может быть заменен эквивалентным генератором тока (рис. 1, б) по формулам

I к = U х r к ,         g 0 = 1 r к . (22)

где I_к — ток эквивалентного генератора тока, равный току короткого замыкания в той ветви, по отношению к которой производится эквивалентное преобразование всей остальной части цепи, g₀ — внутренняя проводимость, равная эквивалентной проводимости всей остальной цепи между зажимами ab, к которым присоединен приемник энергии, в предположении, что э.д.с. всех генераторов равны нулю.

Пример — в задаче 65.

Метод замены нескольких параллельных генераторов напряжения одним эквивалентным

Если имеется несколько генераторов напряжения с э.д.с. E₁, E₂, …, E_n и внутренними сопротивлениями r₁, r₂, …, r_n, работающие параллельно на общее сопротивление нагрузки r (рис. 6, а), то они могут быть заменены одним эквивалентным генератором напряжений, э.д.с. которого E_э, а внутреннее сопротивление r_э (рис. 6, б),

Ток в сопротивлении r определится по формуле

I = E э r + r э . (24)

Ток в каждой из ветвей находится по формуле

I k = E k − U r k , (25)

где U = I·r.

Пример — в задаче 60.

Метод замены параллельно соединенных генераторов тока одним эквивалентным

Если несколько генераторов тока с токами I_k1, I_k2, …, I_kn и внутренними проводимостями g₁, g₂, …, g_n соединены параллельно (рис. 7, а) и работают на общий приемник энергии с проводимостью g то они могут быть заменены одним эквивалентным генератором тока (рис. 7, б), ток которого I_k равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость равна сумме внутренних проводимостей отдельных генераторов

I k = I k 1 + I k 2 − I k 3 + … = ∑ m = 1 n I k m , (26)

g э = g 1 + g 2 + g 3 + … = ∑ m = 1 n g m . (27)

5. Принцип взаимности

Принцип взаимности гласит: если э.д.с. E, находящаяся в ветви ab сколь угодно сложной цепи, вызывает ток в другой ветви cd этой же цепи, то при переносе этой э.д.с. в ветвь cd она вызовет в ветви ab такой же ток I.

6. Принцип компенсации

Принцип компенсации: любое сопротивление в электрической цепи может без изменения распределения токов в ее ветвях быть заменено э.д.с., численно равной падению напряжения в заменяемом сопротивлении и направленной навстречу току.

7. Входное сопротивление цепи относительно ветви

Входное сопротивление цепи относительно ветви k определяется как отношение э.д.с. E_k, действующей в этой ветви, к току I_k в этой же ветви при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю

r k k = E k I k . (28)

Входная проводимость ветви k — величина обратная входному сопротивлению этой ветви

g k k = 1 r k k . (29)

Взаимное сопротивление (передаточное сопротивление) ветвей k и l — отношение э.д.с. E_k, действующей в ветви k, к току I_l, проходящему по ветви l при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю

r k l = E k I l . (30)

Взаимная проводимость ветвей k и l — величина обратная взаимному сопротивлению тех же ветвей

g k l = 1 r k l . (31)

Пример. Для схемы рис. 8 входные сопротивления цепи относительно ветвей 1, 2 и 3 соответственно равны

r 11 = D r 2 + r 3 ,         r 22 = D r 1 + r 3 ,           r 33 = D r 1 + r 2 ,

а взаимные сопротивления ветвей 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1 соответственно равны

r 12 = r 21 = D r 3 ,         r 23 = r 32 = D r 1 ,           r 13 = r 31 = D r 2 ,

8. Баланс мощностей

Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей, расходуемых в приемниках энергии

ΣP_ист = ΣP_потреб, или ΣEI = ΣI 2 r (32)

где ΣEI — алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. E и соответствующего тока I совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно (при выборе положительных направлений токов в ветвях с э.д.с. выбираем направление тока совпадающим с действием соответствующей э.д.с.); ΣI 2 r — арифметическая сумма; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.

Упражнения и задачи

Задача 1 . Для цепи (рис. 9) найти эквивалентные сопротивления между зажимами a и b, c и d, d и f, если r₁ = 6 Ом, r₂ = 5 Ом. r₃ = 15 Ом, r₄ = 30 Ом, r₅ = 6 Ом.

Расчет сопротивления r_ab.

Эквивалентное сопротивление соединенных параллельно сопротивлений r₄ и r₅ найдем по формуле (14)

r 45 = r 4 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 30 ⋅ 6 30 + 6 = 5       О м ;

оно соединено последовательно с r₂; их общее сопротивление

r’ = r₂ + r₄₅ = 5 + 5 = 10 Ом.

Сопротивление цепи состоит из сопротивления r₁, последовательно с которым соединены два параллельных сопротивления r’ и r₃

r a b = r 1 + r ′ ⋅ r 3 r ′ + r 3 = 6 + 10 ⋅ 15 10 + 15 = 12       О м .

Расчет сопротивления r_cd.

Сопротивления r₄ и r₅ теперь соединены параллельно друг другу; сопротивление r₃ к ним включено последовательно

r ″ = r 3 + r 4 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 15 + 30 ⋅ 6 30 + 6 = 20       О м .

Сопротивление r_cd состоит из двух параллельно соединенных сопротивлений r₂ и r» и равно

r c d = r 2 ⋅ r ″ r 2 + r ″ = 5 ⋅ 20 5 + 20 = 4       О м .

Расчет сопротивления r_df.

Эквивалентное сопротивление цепи между точками d и f состоит из трех параллельно соединенных сопротивлений: r₅, r₄ и r₂ + r₃ и может быть определено по формуле (13)

1 r d f = 1 r 5 + 1 r 4 + 1 r 2 + r 3 = 1 6 + 1 30 + 1 20 = 1 4 ,

откуда r_df. = 4 ом.

Задача 2 . Для цепи (рис. 10) начертить кривую зависимости эквивалентного сопротивления между точками a и b как функцию от k (0 ≤ k ≤ 10).

Ответ: при k = 0 и k = 1 r_ab = 0; при k = 0,5 r_abмакс = 250 Ом.

Задача 3 . Цепь, схема которой изображена на рис. 11, а, состоит из пяти одинаковых сопротивлений r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = r₅ = 10 кОм.

Чему равно сопротивление цепи между зажимами a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К?

Сопротивления r₃, r₄ и r₅ соединены между собой последовательно; заменяющее их эквивалентное сопротивление является параллельным к сопротивлению r₁; величина сопротивления, заменяющего r₃, r₄, r₅ и r₁, равна

r ′ = r 1 ⋅ ( r 3 + r 4 + r 5 ) r 1 + ( r 3 + r 4 + r 5 ) = 10 ⋅ 30 40 = 7,5       к О м .

Искомое сопротивление цепи

r_ab = r’ + r₂ = 7,5 + 10 = 17,5 кОм.

В этом случае сопротивления r₁ и r₃ соединены параллельно друг другу, а сопротивления r₄ и r₅ закорочены (рис. 11, б). Искомое сопротивление цепи будет

r a b = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 3 + r 2 = 10 ⋅ 10 20 + 10 = 15       к О м .

Задача 4 . Вычислить эквивалентное сопротивление цепи (рис. 12) между зажимами a и b, если все семь ее сопротивлений одинаковы:

Указание. Обратить внимание на закорачивающие проводники mn и np.

Ответ: 10 Ом.

Задача 5 . Определить эквивалентное сопротивление цепи между точками a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К (рис. 13, а): r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = r₅ = r₆ = r₇ = 10 Ом.

При разомкнутом ключе заданная схема может быть изображена согласно рис. 13, б.

r a b = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 3 = ( r 5 + r 6 + r 4 ⋅ r 7 r 4 + r 7 ) ⋅ r 2 r 5 + r 6 + r 4 ⋅ r 7 r 4 + r 7 + r 2 = 5 + 25 ⋅ 10 35 = 12,1       О м .

При замкнутом ключе заданная схема имеет вид, изображенный на рис. 13, в.

Сопротивление цепи равно сумме двух сопротивлений

r ′ = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 3 10 ⋅ 10 20 = 5       О м ,

и r», определяемого из формулы

1 r ″ = 1 r 4 + 1 r 7 + 1 r 2 ,

откуда r’ = 3,33 Ом. Таким образом,

r a b = r ′ + r ″ = 5 + 3,33 = 8,33       О м .

Задача 6 . Найти эквивалентное сопротивление между зажимами a и b для схемы рис. 14. Даны: r₁ = 600 Ом, r₂ = 360 Ом, r₃ = 400 Ом, r₄ = 300 Ом.

Ответ: 200 Ом.

Задача 7 . Определить сопротивление каждой из цепей (рис. 15, а и б) между зажимами 1–1′ при холостом ходе (точки 2 и 2′ разомкнуты) и при коротком замыкании (точки 2 и 2′ закорочены). Сопротивления в омах даны на схеме.

Ответ: а) r_1х = 120 Ом, r_1к = 72 Ом; б) r_1х = 20 Ом, r_1к = 18 Ом.

Задача 8 . Вычислить сопротивление между зажимами a и b для схемы рис. 16 при разомкнутом и замкнутом ключе К. Все семь сопротивлений одинаковы и каждое равно r = 30 Ом.

Указание. Учесть, что точки c и d равнопотенциальны.

Ответ: При разомкнутом ключе r_ab = 40 Ом; при замкнутом — r_ab = 30 Ом.

Задача 9 . Найти сопротивление между зажимами a и b для схемы рис. 17, а. Значения сопротивлений в омах даны на схеме.

От данной схемы можно перейти к более простым схемам, изображенным на рис. 17, б и в. Искомое сопротивление

r a b = 240 ⋅ ( 180 + 300 ⋅ 450 750 ) 240 + 180 + 300 ⋅ 450 750 = 144       О м .

Задача 10 . Имеется вольтметр, который может быть включен па три предела измерения: 3; 15 и 150 В (рис. 18). Максимально допустимый ток в измерительном механизме 30 мА.

Найти сопротивления r₁, r₂ и r₃.

Полагаем внутреннее сопротивление измерительного механизма (ИМ) равным нулю.

На пределе измерения 3 В: ток 30 мА, сопротивление r₁ = 3/0,030 = 100 Ом.

На пределе измерения 15 В: ток 30 мА, сопротивление r₁ + r₂ = 15/0,030 = 500 Ом, а сопротивление r₂ = 500 — 100 = 400 Ом.

Аналогично находится r₃ = 4500 Ом.

Задача 11 . Два вольтметра, пределы измерения которых равны 150 и 100 В и внутренние сопротивления — 15000 и 7500 Ом, соединенные последовательно друг с другом и с добавочным сопротивлением 2500 Ом, подключены к сети 220 В. Чему равно показание каждого вольтметра?

Ответ: 132 и 66 В.

Задача 12 . Батарея, э.д.с. которой E = 6,4 В и внутреннее сопротивление r₀ = 0,1 Ом, присоединена к сопротивлению r = 3,1 Ом. Найти ток батареи и напряжение на ее зажимах.

Применяя формулу закона Ома для замкнутой цепи (формула 4), находим ток

I = E r + r 0 = 6,1 3,1 + 0,1 = 2       А .

Напряжение на зажимах батареи может быть найдено двумя путями: или

U = E — I·r₀ = 6,4 — 2·0,1 = 6,2 В,

U = I·r = 2·3,1 = 6,2 В.

Задача 13 . Напряжение холостого хода батареи равно 16,4 В. Чему равно внутреннее сопротивление батареи, если при токе во внешней цепи, равном 8 А, напряжение на ее зажимах равно 15,2 В?

Ответ: 0,15 Ом.

Задача 14 . Источник с э.д.с. E = 100 В, внутренним сопротивлением r₀ = 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление r, которое меняется от нуля до бесконечности (рис. 19, а). Определить в функции этого сопротивления: 1) ток I; 2) напряжение на зажимах источника U; 3) мощность, отдаваемую источником во внешнюю цепь P_внеш; 4) мощность, затрачиваемую в самом источнике P_внутр; 5) общую мощность P_общ; 6) коэффициент полезного действия η. При каком внешнем сопротивлении P_внеш будет максимальным? Чему оно равно?

Построить кривые I = F₁ (r), U = F₂ (r), P_внеш = F₃ (r), P_внутр = F₄ (r), P_общ = F₅ (r), η = F₆ (r).

Написать уравнения и построить кривые зависимостей U, P_внеш, P_внутр, P_общ и η в функции тока I.

Определим r, при котором P_внеш будет максимально. Для этого вычислим производную от P_внеш по r и приравняем ее нулю

d P в н е ш d r = E 2 d d r r ( r + r 0 ) 2 = E 2 d d r r ⋅ ( r + r 0 ) 2 − r ⋅ d d r ( r + r 0 ) 2 ( r + r 0 ) 4 =                                 = E 2 ( r + r 0 ) 2 − r ⋅ 2 ( r + r 0 ) ( r + r 0 ) 4 = E 2 r 0 − r ( r + r 0 ) 3 = 0.

Взяв вторую производную, можно убедиться, что она отрицательна. Это соответствует условию максимума.

Отсюда найдем, что r = r₀, т.е. при внешнем сопротивлении равном внутреннему сопротивлению, мощность, поступающая во внешнюю цепь, будет максимальна. При этом, по уравнению (6), коэффициент полезного действия равен 0,5. Величина максимальной мощности, поступающей во внешнюю цепь при r = r₀, по уравнению (3) равна

P в н е ш . м а к с = [ E 2 ⋅ r ( r + r 0 ) 2 ] r = r 0 = E 2 4 r = 2500       В т .

По написанным выше уравнениям на рис. 19, б построены кривые.

Искомые уравнения зависимостей в функции тока имеют вид

U = E − I ⋅ r 0 ; P в н е ш = E ⋅ I − I 2 ⋅ r 0 ;       P в н у т р = I 2 ⋅ r 0 ;         P о б щ = E ⋅ I ; η = 1 − I ⋅ r 0 E .

По этим уравнениям на рис. 19, в построены кривые.

Задача 15 . В схеме (рис. 20) э.д.с. E₁ = 120 В, E₂ = 40 В, а сопротивления r₁ = 12 Ом, r₂ = 8 Ом. Внутренние сопротивления источников энергии равны нулю. Определить напряжение между точками a и b.

Задавшись положительным направлением тока по часовой стрелке, на основании закона Ома (формула 4) имеем

I = E 1 − E 2 r 1 + r 2 = 120 − 40 12 + 8 = 4       А .

Так как результат оказался положительным, то, следовательно, фактическое направление тока совпадает с выбранным. Напряжение между точками a и b можно найти по закону Ома (формула 5), примененному к участку amb

I = U a b − E 2 r 2 ,

U a b = E 2 + I ⋅ r 2 = 40 + 4 ⋅ 8 = 72     В .

Такой же результат можно получить, если применить ту же формулу к участку bna

I = U b a + E 1 r 1 ,

U b a = I ⋅ r 1 − E 1 = 4 ⋅ 12 − 120 = − 72     В ,

а, следовательно, U_ab = 72 В.

Замечание. Следует запомнить, что если на участке цепи, содержащем э.д.с. и сопротивление, ток и э.д.с. совпадают по направлению, то напряжение на зажимах участка меньше э.д.с. на величину падения напряжения в сопротивлении участка, а если направление тока противоположно направлению э.д.с., то напряжение на зажимах участка больше э.д.с. на величину падения напряжения в рассматриваемом участке.

Задача 16 . Определить показание вольтметра (рис. 21), сопротивление которого весьма велико по сравнению с r₁ и r₂.

Для обоих случаев даны: E₁ = 40 В, E₂ = 10 В, r₁ = r₂ = 5 Ом. Внутренними сопротивлениями источников энергии пренебречь.

Ответ: а) 15 В, б) 25 В.

Задача 17 . Построить график изменения потенциала вдоль цепи, изображенной на рис. 22, а, при замкнутом ключе и при разомкнутом ключе, предполагая в обоих случаях, что точка a заземлена (φ_a = 0).

В схеме найти точку, равнопотенцнальную точке a. Определить, потенциал какой точки следует принять равным нулю, чтобы потенциалы всех остальных точек были положительны (при замкнутом ключе).

Электродвижущие силы равны: E₁ = 25 В, E₂ = 5 В, E₃ = 20 В, E₄ = 35 В.

Внешние сопротивления имеют следующие значения: r₁ = 8 Ом, r₂ = 24 Ом, r₃ = 40 Ом, r₄ = 4 Ом. Внутренние сопротивления источников электрической энергии равны: r₁₀ = 2 Ом, r₂₀ = 6 Ом, r₃₀ = 2 Ом, r₄₀ = 4 Ом.

Ключ замкнут. Задавшись положительным направлением тока по часовой стрелке, на основании закона Ома (формула 4) найдем ток

I = E 1 + E 2 − E 3 + E 4 r 1 + r 10 + r 2 + r 20 + r 3 + r 30 + r 4 + r 40 = 45 90 = 0,5       А .

Пользуясь формулами (3) и (5), вычислим потенциалы всех точек, обходя контур тока по часовой стрелке

φ a = 0 ; φ b = φ a − I ⋅ r 1 = 0 − 0,5 ⋅ 8 = − 4       B ; φ c = φ b + E 1 − I ⋅ r 10 = ( − 4 ) + 25 − 0,5 ⋅ 2 = 20       B ; φ d = φ c − I ⋅ r 2 = 20 − 0,5 ⋅ 24 = 8       B ; φ f = φ d + E 2 − I ⋅ r 20 = 8 + 5 − 0,5 ⋅ 6 = 10       B ; φ g = φ f − I ⋅ r 3 = 10 − 0,5 ⋅ 40 = − 10       B ; φ h = φ g − E 3 − I ⋅ r 30 = ( − 10 ) − 20 − 0,5 ⋅ 2 = − 31       B ; φ k = φ h − I ⋅ r 4 = ( − 31 ) − 0,5 ⋅ 4 = − 33       B ; φ a = φ k + E 4 − I ⋅ r 40 = ( − 33 ) + 35 − 0,5 ⋅ 4 = 0.

На рис. 22, б начерчен потенциальный график. По оси абсцисс отложены величины сопротивлений отдельных участков цепи, а по оси ординат — значения потенциалов в отдельных точках цепи.

Найдем точку, равнопотенциальную точке a. Из графика видно, что искомая точка m находится на участке сопротивления fg, так как в этой точке прямая падения потенциалов пересекает ось абсцисс, потенциал которой равен φ_a = 0. Обозначая участок сопротивления между точками f и m через r_fm и применяя к участку abcdfm формулу закона Ома (5) и учитывая, что φ_a = φ_m, найдем

I = φ a − φ m + E 1 + E 2 r 1 + r 10 + r 2 + r 20 + r f m ,

0,5 = 30 40 + r f m ,

откуда r_fm = 20 Ом, т.е. точка m находится на середине сопротивления r₃.

Для нахождения точки, потенциал которой следует принять равным нулю при условии, чтобы потенциалы всех остальных точек были положительны, следует обратиться к потенциальному графику, из которого видно, что такой точкой является точка k.

Ключ разомкнут. Тока в цепи нет, поэтому точки a и b равнопотенциальны, т. е. φ_a = φ_b = 0. Потенциал точки c превышает потенциал точки b на величину э.д.с. E₁ и φ_c = E₁ = 25 В; рассуждая аналогично, найдем

φ d = φ c = 25       B ; φ f = φ d + E 2 = 25 + 5 = 30       B ; φ g = φ f = 30       B ; φ h = φ g − E 3 = 30 − 20 = 10       B ; φ k = φ h = 10       B ; φ l = φ k + E 4 = 10 + 35 = 45       B .

На основе полученных результатов на рис. 22, б начерчен график изменения потенциала при разомкнутом ключе.

Задача 18 . Для схемы рис. 23 построить потенциальные графики 0abcdfghkl при разомкнутом и замкнутом ключе, если E₁ = 60 В, E₂ = 40 В, E₃ = 25 В, E₄ = 15 В, r₁₀ = 6 Ом, r₂₀ = 4 Ом, r₃₀ = 3 Ом, r₄₀ = 2 Ом, r₁ = 24 Ом, r₂ = 16 Ом, r₃ = 25 Ом, r₄ = 22 Ом, r₅ = 18 Ом.

Задача 19 . Определить токи в ветвях цепи (рис. 24, а) и напряжение между точками c и d и показание амперметра, включенного между точками c и d. Сопротивление амперметра считать равным нулю. Сопротивления элементов цепи r₁ = 10 Ом, r₂ = r₃ = r₅ = 25 Ом, r₄ = 50 Ом, а приложенное к ней напряжение U = 120 В.

r = r 1 + ( r 2 + r 4 ) ⋅ ( r 3 + r 5 ) ( r 2 + r 4 ) + ( r 3 + r 5 ) = 10 + 75 ⋅ 50 125 = 40       О м .

В неразветвленной части цепи протекает ток

I = U r = 120 40 = 30       А .

Токи, протекающие через сопротивления r₂ + r₄ и r₃ + r₅, можно найти различными способами.

1) В параллельных ветвях токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям (формулы 9)

I 2 = I 1 ⋅ ( r 3 + r 5 ) ( r 2 + r 4 ) + ( r 3 + r 5 ) = 3 ⋅ 50 125 = 1,2       А , I 3 = I 1 ⋅ ( r 2 + r 4 ) ( r 2 + r 4 ) + ( r 3 + r 5 ) = 3 ⋅ 75 125 = 1,8       А .

2) Найдем напряжение на зажимах параллельных ветвей

U a b = I 1 ⋅ ( r 2 + r 4 ) ⋅ ( r 3 + r 5 ) ( r 2 + r 4 ) + ( r 3 + r 5 ) = 3 ⋅ 75 ⋅ 50 125 = 90       В .

Токи в ветвях с сопротивлениями r₂ + r₄ и r₃ + r₅ равны

I 2 = U a b r 2 + r 4 = 90 75 = 1,2       А ,         I 3 = U a b r 3 + r 5 = 90 50 = 1,8       А .

Напряжение на зажимах параллельных ветвей может быть найдена как разность между приложенным напряжением и падением напряжения на сопротивлении r₁

U a b = U − I 1 ⋅ r 1 = 120 − 3 ⋅ 10 = 90       В .

Найдем напряжение между точками c и d

U c d = − I 2 ⋅ r 2 + I 3 ⋅ r 3 = − 1,2 ⋅ 25 + 1,8 ⋅ 25 = 15       В .

Наконец, вычислим ток, проходящий через амперметр, он равен току короткого замыкания I’_cd (рис. 24, б). Для его нахождения вычислим токи

I ′ 1 = U r 1 + r 2 ⋅ r 3 r 2 + r 3 + r 4 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 144 47       А , I ′ 2 = I ′ 1 ⋅ r 3 r 2 + r 3 = 144 47 ⋅ 1 2 = 72 47       А , I ′ 4 = I ′ 1 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 144 47 ⋅ 25 75 = 48 47       А .

Искомый ток, проходящий через амперметр, равен

I A = I ′ c d = I ′ 2 − I ′ 4 = 72 47 − 48 47 = 24 47 = 0.51       А .

Задача 20 . Для измерения тока применены амперметры, пределы измерений которых равны 5 и 2,5 А, и шунт, сопротивление которого неизвестно. Первый амперметр, включенный с шунтом в некоторую цепь, показал 3,6 А, второй — с тем же шунтом показал в той же цепи ток 2 А. Сопротивления амперметров r₁ = 0,002 Ом и r₂ = 0,004 Ом. Чему равен ток в цепи?

Ответ: 18 А; r_ш = 0,0005 А.

Задача 21 . Для цепи рис. 25 определить отношение напряжения на выходе U₂ к напряжению на входе цепи U₁. Сопротивления отдельных ветвей цепи в омах указаны на схеме.

Задача 22 . В схеме (рис. 26) найти сопротивление r_x, если I₁ = 2,6 А, I₃ = 0,6 А, r₁ = 0,5 Ом, r₂ =1,4 Ом, r₃ = 3 Ом, r₄ = 2,5 Ом. Найти э.д.с. батареи E, если ее внутреннее сопротивление r₀ = 0,1 Ом.

На основании первого закона Кирхгофа найдем

По закону Ома, примененному к участку, содержащему сопротивление r₂, найдем

Применяя закон Ома к участку цепи ab, содержащему э.д.с. E и сопротивления r₁ и r₀, найдем искомую э.д.с.

E = U_ab + I₁· (r₁ + r₀) = 2,8 + 2,6·0,6 = 4,36 В.

Теперь найдем напряжение на параллельных ветвях с сопротивлениями r₄ и r_x и токи в них

Задача 23 . В схеме мостика (рис. 27) известны сопротивления r₁ = 1300 Ом, r₂ = 800 Ом, r₃ = 400 Ом. Сопротивление гальванометра r_г = 600 Ом. Через, сопротивление r₁ протекает ток I₁ = 1 мА. К мостику приложено напряжение U = 2,5 В.

Найти сопротивление r₄.

Ответ: 750 Ом.

Задача 24 . В цепи (рис. 28) найти E₁ и r_x, если E₂ = 3 В, r₁ = r₂ = 1 кОм, r₃ = 4 кОм, r₄ = 2 кОм, r₅ = 1 кОм. Внутренние сопротивления батарей принять равными нулю.

Амперметр А₁ показывает 4 мА, а А₄ — 3 мА; полярности приборов показаны на схеме, а их сопротивлениями можно пренебречь.

Ответ: E₁ = 12 В, r_x = 2 Ом.

Задача 25 . Однопроводная линия с сопротивлением r₀ на единицу длины, питаемая батареей с э.д.с., равной E, закорочена на приемном конце (рис. 29).

В каком месте линия должна иметь утечку с сопротивлением r, чтобы ток I на приемном конце был минимальным?

Ответ: по середине линии.

Задача 26 . Для определения места повреждения изоляции линии применяется схема, изображенная на рис. 30, а; r₁ и r₂ — магазины сопротивлений.

Правый зажим гальванометра заземлен. Свободные концы тип линии соединены между собой накоротко. Подбором сопротивлений r₁ и r₂ добиваются отсутствия тока в гальванометре.

Показать, что если сечения обоих проводов одинаковы, то расстояние от места повреждения изоляции a до начала линии равно

2 l ⋅ r 2 r 1 + r 2 .

Указание. Заданная схема может быть заменена схемой рис. 30, б.

Задача 27 . При проверке постоянной C счетчика оказалось, что при силе тока 10 А и напряжении 120 В якорь его в продолжение 30 сек сделал 37 оборотов. Определить ошибку в показаниях счетчика, если на счетчике указано, что 1 ГВт·ч соответствует 400 оборотам счетчика.

Примечание. Постоянной счетчика называется число ватт-часов, приходящихся на один оборот счетчика.

Задача 28 . Каково должно быть сечение медных проводов линии для передачи потребителю мощности P = 16 кВт при условии, что потеря мощности не превысит p = 5%, если длина линии l = 180 м и напряжение в конце линии равно U = 220 В?

Ответ: точное значение 41,8 мм 2 , по ГОСТ надо взять 50 мм 2 .

Задача 29 . Для схемы (рис. 31), пользуясь законами Кирхгофа, найти токи и проверить баланс мощностей, если E₁ = 15 В, E₂ = 70 В, E₃ = 5 В, r₁₀ = r₂₀ = 1 Ом, r₃₀ = 2 Ом, r₁ = 5 Ом, r₁ = 5 Ом, r₂ = 4 Ом, r₃ = 8 Ом, r₄ = 2,5 Ом, r₅ = 15 Ом.

Всего узлов в схеме три (a, b, c), следовательно, число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, будет на единицу меньше, т.е. два. Число контуров равно трем, следовательно, по второму закону Кирхгофа можно составить три взаимно независимых уравнения. Таким образом, общее число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.

Выберем положительные направления для токов, которые обозначены пунктирными стрелками, и составим систему уравнений Кирхгофа:

для узла a

для узла b

для контура abfa

для контура abca

для контура adca

Уравнения (1) — (5) после подстановки в них числовых значений будут иметь следующий вид

Решая эту систему уравнений, получим

I₁ = 5 А; I₂ = 8 А; I₃ = 1 А; I₄ = –6 А; I₅ = 2 А.

Отрицательный знак для тока I₄ означает, что истинное направление этого тока противоположно принятому. При проверке баланса мощностей надо иметь в виду, что в тех ветвях цепи, где истинное направление тока совпадает с направлением э.д.с., соответствующая э.д.с. будет являться источником энергии, а в тех участках, где направления э.д.с. и тока противоположны, э.д.с. будет являться потребителем энергии. Все сопротивления как внешние, так и самих источников, независимо от направления протекающего через них тока, будут являться потребителями энергии.

Баланс мощностей для рассматриваемой схемы будет

15·5 + 70·8 — 5·1 = 5 2 ·6 + 8 2 ·5 + 1 2 ·10 + 6 2 ·2,5 + 2 2 ·15,

получено тождество 630 Вт = 630 Вт.

Задача 30 . В схеме (рис. 32) найти все токи, если известны: E₁ = 20 В, E₂ = 1,1 В, r₁₀ = 0,2 Ом, r₂₀ = 0,4 Ом, r₁ = r₂ = 5 Ом, r₃ = 7 Ом.

Ответ: 2,5 А, 1,5 А, 1 А.

Задача 31 . Для цепи, изображенной на рис. 33, рассчитать токи и определить показание вольтметра, если E₁ = 40 В, E₂ = 5 В, E₃ = 25 В, r₁ = 5 Ом, r₂ = r₃ = 10 Ом.

Внутренними сопротивлениями источников энергии и током, протекающим через вольтметр, можно пренебречь.

Ответ: I₁ = 5 А, I₂ = 1 А, I₃ = 4 А, U_ba = 30 В.

Задача 32 . Аккумуляторная батарея из 20 последовательно соединенных элементов работает параллельно с генератором на сеть, имеющую нагрузку 30 А. Каждый аккумулятор имеет э.д.с. 1,82 В и сопротивление 0,001 Ом. Э.д.с. генератора 36,4 В и его сопротивление 0,04 Ом. Определить нагрузку генератора и батареи (т. е. отдаваемые ими токи) и напряжение на их зажимах.

Какую э.д.с. должен развивать генератор, чтобы нагрузка распределилась поровну между генератором и батареей?

Ответ: 20 А, 10 А, 36 В, 36,7 В.

Задача 33 . По трехпроводной линии длиной 0,5 км (рис. 34) от двух генераторов 1 и 2 питаются две группы ламп 50 Вт, 110 В.

В первой группе — N₁ = 200 ламп, а во второй — N₂ = 600 ламп. Сечение крайних проводов q = 35 мм 2 , а сечение среднего (нулевого) провода q₀ = 16 мм 2 . Каждый генератор имеет внутреннее сопротивление 0,01 Ом и развивает э.д.с. 120 В. Определить токи во всех проводах линии и напряжение на зажимах каждой группы ламп, сопротивления которых считать постоянным. Материал проводов линии — медь.

Ответ: I₁ = 98 А, I₂ = 144 А, I₀ = 46 А, U₁ = 102 В, U₂ = 71 В.

Задача 34 . Напряжения, измеренные электростатическим вольтметром, между узловыми точками схемы и землей, равны: U₁₀ = –15 В, U₂₀ = 52 В, U₃₀ = 64 В (рис. 35).

Определить токи в ветвях и отходящих проводах при следующих данных: E₁ = 80 В, E₃ = 70 В, r₁ = 5 Ом, r₂ = 10 Ом, r₃ = 12 Ом.

Вычислим напряжения между точками 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1

U₁₀ — U₂₀ = U₁₂ = (–15) — 52 = –67 В,

U₂₀ — U₃₀ = U₂₃ = 52 — 64 = –12 В,

U₃₀ — U₁₀ = U₃₁ = 64 — (–15) = 79 В.

Применяя к ветвям 1–2, 2–3, 3–1 закон Ома, найдем токи

I 1 = U 12 + E 1 r 1 = ( − 67 ) + 80 5 = 2,6       А , I 2 = U 32 r 2 = 12 10 = 1,2       А , I 3 = U 31 − E 3 r 3 = 79 − 70 12 = 0,75       А .

Так как все токи оказались положительными, то они имеют направления в соответствии с только что записанными уравнениями и нанесены на рис. 35.

Токи в ответвлениях от узловых точек 1–p, 2–q, 3–s находим по первому закону Кирхгофа

Задача 35 . В цепи (рис. 36) известны э.д.с. E₁ = 120 В, E₂ = 40 В, E₃ = 70 В и сопротивления r₁ = 20 Ом, r₂ = 10 Ом, r₃ = 40 Ом.

Потенциалы точек a, b и c относительно земли соответственно равны (определены посредством вольтметра): U_a0 =160 В, U_b0 = 180 В, U_c0 = 50 В. Определить токи в ветвях ab, bc, ca и в проводах aa’, bb’ и cc’, подходящих к точкам a, b и c.

Ответ: I₁ = 5 А, I₂ = 9 А, I₃ = 1 А.

Задача 36 . В цепи (рис. 37) известны э.д.с. E₁ = 40 В, E₂ = 30 В.

Сопротивления элементов схемы r₁ = 8 Ом, r₂ = 5 Ом, r₃ = 10 Ом. Показания вольтметров соответственно равны: U₁ = 125 В, U₂ = 60 В; полярность зажимов вольтметров показана на схеме. Пренебрегая внутренними сопротивлениями источников электрической энергии и считая потребляемые вольтметрами токи приближенно равными нулю, определить величину и полярность э.д.с. E₃. Найти все токи.

Ответ: E₃ = 20 В, I₁ = 2,5 А, I₂ = 6 А, I₃ = 8,5 А.

Задача 37 . В цепи, изображенной на рис. 38, найти токи и показания вольтметров, включенных между точками 0 и c, c и g, если известно, что E₁ = 32 В, E₂ = 64 В, E₃ = 72 В, r₁ = 9 Ом, r₁₀ = 1 Ом, r₂ = 5 Ом, r₂₀ = 1 Ом, r₃ = 2 Ом, r₃₀ = 1 Ом, r₄ = 2 Ом, r₅ = 1 Ом. Сопротивления вольтметров весьма велики по сравнению с сопротивлениями элементов цепи.

Ответ: I₁ = 5 А, I₂ = 9 А, I₃ = 1 А.

Задача 38 . Для схемы (рис. 39, а) найти токи и проверить баланс мощностей, если U_ab = 12 В, U_cd = 5,6 В, r₁ = 4 Ом, r₂ = 5 Ом, r₃ = 3 Ом.

Данная схема может быть заменена эквивалентной, в которой между точками a и b, а также c и d включены э.д.с., численное значение которых E₁ = U_ab и E₂ = U_cd, а их внутренние сопротивления равны нулю (рис. 39, б). Обращаем внимание на то, что при включении э.д.с. следует соблюдать заданные полярности напряжений.

Задавшись направлениями для токов, составим систему уравнений Кирхгофа

Подставляя сюда числовые значения и решая систему уравнений, найдем:

I₁ = 2,4 А, I₂ = 1,6 А, I₃ = 0,8 А.

Для проверки баланса мощностей составим уравнение

12·2,4 + 5,6·1,6 = 2,4 2 ·4 + 1,6 2 ·5 + 0,8 2 ·3;

получено тождество 37,76 = 37,76.

Задача 39 . В цепи (рис. 40) найти токи и проверить баланс мощностей, если U_ab = 16 В, U_cd = 11,2 В, E = 5 В, r₀ = 0, r = 10 Ом, r₁ = 5 Ом, r₂ = 4 Ом.

Ответ: I₁ = 1,2 А, I₂ = 0,3 А, I = 1,5 А.

Задача 40 . Чему равно показание вольтметра на рис. 41, если током вольтметра можно пренебречь по сравнению с токами в нагрузках? Внутренние сопротивления батарей принять равными нулю.

Определить показания ваттметров и убедиться в том, что их сумма равна сумме мощностей, расходуемых в сопротивлениях r₁, r₂ и r₃. Потерями в катушках ваттметров пренебречь.

Дано: E₁ = 30 В, E₂ = 21 В, E₃ = 5 В, r₁ = 5 Ом, r₂ = 10 Ом, r₃ = 50 Ом.

Ответ: 25 В, P₁ = 9 Вт, P₂ = 15,6 Вт.

Задача 41 . Методом контурных токов найти токи в цепи, схема которой изображена на рис. 42; даны: E₁ = 100 В, E₂ = 30 В, E₃ = 10 В, E₄ = 6 В, r₁ = 10 Ом, r₂ = 10 Ом, r₄ = 6 Ом, r₅ = 5 Ом, r₆ = 15 Ом, r₁₀ = r₂₀ = r₃₀ = 0, r₄₀ = 1 Ом.

Выберем направления контурных токов, которые обозначим через I₁₁, I₂₂, I₃₃.

Составим систему уравнений для контуров

После подстановки числовых значений будем иметь

Решив эту систему уравнений, найдем контурные токи

I₁₁ = 5 А, I₂₂ = 4 А, I₃₃ = –2 А.

Теперь найдем истинные токи во всех ветвях.

В ветви, где действует э.д.с. E₁, истинный ток I₁ имеет направление контурного тока I₁₁ и равен

В ветви с сопротивлением r₅ истинный ток I₅ имеет направление контурного тока I₂₂ и равен

В ветви с сопротивлением r₆ истинный ток I₆ имеет направление, противоположное контурному току I₃₃, и равен

В ветви с сопротивлением r₂ истинный ток I₂ получится от наложения контурных токов I₁₁ и I₂₂ и будет иметь направление большего контурного тока I₁₁;

I₂ = I₁₁ — I₂₂ = 5 — 4 = 1 А.

В ветви с сопротивлением r₄ истинный ток I₄ получится от наложения контурных токов I₂₂ и I₃₃ и будет иметь направление контурного тока I₂₂;

В ветви, где действует э.д.с. E₃, истинный ток I₃ получится от наложения контурных токов I₁₁ и I₃₃ и будет иметь направление тока I₁₁;

Эта же задача может быть решена методом определителей. Для этого уравнения для контурных токов следует записать в форме (10), а именно

где контурные сопротивления

взаимные сопротивления контуров

Получим численную систему уравнений метода контурных токов

или в матричной форме записи

( 20 − 10 0 − 10 22 7 0 7 22 ) ⋅ ( I 11 I 22 I 33 ) = ( 60 24 − 16 ) .

Составим главный определитель системы? и вычислим его значение

Вычислим значения вспомогательных определителей

Δ 11 = | E 11 r 12 r 13 E 22 r 22 r 23 E 33 r 32 r 33 | = | 60 − 10 0 24 22 7 − 16 7 22 | = 32500 ; Δ 22 = | r 11 E 11 r 13 r 21 E 22 r 23 r 31 E 33 r 33 | = | 20 60 0 − 10 24 7 0 − 16 22 | = 26000 ; Δ 33 = | r 11 r 12 E 11 r 21 r 22 E 22 r 31 r 32 E 33 | = | 20 − 10 60 − 10 22 24 0 7 − 16 | = − 13000.

Искомые контурные токи определяем по формулам

I 11 = Δ 11 Δ = 32500 6500 = 5       А ; I 22 = Δ 22 Δ = 26000 6500 = 4       А ; I 33 = Δ 33 Δ = − 13000 6500 = − 2       А .

Мы получили те же результаты, что и ранее.

Задача 42 . Найти все токи и определить потенциалы точек a, b, c и 0 относительно земли (рис. 43).

Задачу решить методом контурных токов, Внутренние сопротивления источников электрической энергии считать равными нулю: E₁ = 85 В, E₂ = 84 В, E₃ = 5 В, E₄ = 12 В, r₁ = 8 Ом, r₂ = 10 Ом, r₃ = 10 Ом, r₄ = 10 Ом, r₅ = 10 Ом, r₆ = 4 Ом.

Ответ: I₁ = 2 А, I₂ = 2,7 А, I₃ = 0,7 А, I₄ = 2,2 А, I₅ = 4,7 А, I₆ = 2,5 А.

Задача 43 . Для схемы (рис. 44) найти токи и U_ab, если E₁ = 70 В, E₂ = 5 В, E₃ = 15 В, E₄ = 10 В, r₁ = 5 Ом, r₂ = r₃ = 10 Ом, r₄ = 5 Ом, r₅ = 3 Ом.

Задачу решить методом контурных токов. Внутренние сопротивления источников энергии равны нулю.

Ответ: I₁ = 6 А, I₂ = 2 А, I₃ = 4 А, I₄ = 1 А, I₅ = 5 А.

Задача 44 . Для схемы, изображенной на рисунке 45, а, пользуясь методом узловых потенциалов, определить все токи. Данные схемы: E₁ = 30 В, E₂ = 10 В, E₃ = 200 В, E₄ = 56 В, r₁ = 20 Ом, r₂ = 30 Ом, r₃ = 6 Ом, r₄ = 8 Ом, r₅ = 15 Ом, r₆ = 40 Ом, r₇ = 10 Ом. Внутренние сопротивления источников напряжения равны нулю.

Примем потенциал точки 3 равным нулю. Тогда, на основании формулы (11), запишем систему уравнений для определения потенциалов точек 1 и 2

φ 1 ⋅ g 11 + φ 2 ⋅ g 12 = ∑ 1 E ⋅ g ,         ( 1 ) φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 = ∑ 2 E ⋅ g .         ( 2 )

Подсчитаем g₁₁ — сумму проводимостей, присоединенных к узлу 1

g 11 = 1 r 1 + r 7 + 1 r 5 + 1 r 4 + 1 r 6 = 1 30 + 1 15 + 1 8 + 1 40 = 0,25       1 О м .

Аналогично g₂₂ — сумма проводимостей, присоединенных к узлу 2

g 22 = 1 r 1 + r 7 + 1 r 5 + 1 r 2 + 1 r 3 = 1 30 + 1 15 + 1 30 + 1 6 = 0,3       1 О м .

Взаимные проводимости первого и второго узлов

g 12 = g 21 = − ( 1 r 1 + r 7 + 1 r 5 ) = − 1 30 − 1 15 = − 0,1       1 О м .

Подставим в уравнения (1) и (2) числовые значения

        0,25 ⋅ φ 1 + ( − 0,1 ) ⋅ φ 2 = 30 ⋅ 1 30 − 56 ⋅ 1 8 = − 6, ( − 0,1 ) ⋅ φ 1                 + 0,3 ⋅ φ 2 = − 30 ⋅ 1 30 + 10 ⋅ 1 30 − 200 ⋅ 1 6 = − 34.

Решив последние два уравнения, найдем потенциалы точек 1 и 2

Наконец, применяя закон Ома для отдельных ветвей, определим искомые токи

I 1 = φ 1 − φ 2 − E 1 r 1 = ( − 80 ) − ( − 140 ) − 30 30 = 1       А ; I 2 = φ 3 − φ 2 + E 2 r 2 = 0 − ( − 140 ) + 10 30 = 5       А ; I 3 = φ 2 − φ 3 + E 3 r 3 = ( − 140 ) − 0 + 200 6 = 5     А ; I 4 = φ 3 − φ 1 − E 4 r 4 = 0 − ( − 80 ) − 56 8 = 3       А ; I 5 = φ 1 − φ 2 r 5 = ( − 80 ) − ( − 140 ) 15 = 4       А .

Направления найденных токов указаны на скелетной схеме (рис. 45, б).

Рекомендуем читателю решить ту же задачу, приняв за нуль потенциал узловой точки 1.

Задача 45 . Методом узловых потенциалов определить токи во всех ветвях схемы, изображенной на рис. 46, а; заданы: E₁ = 20 В, E₂ = 30 В, E₃ = 2 В, E₄ = 1,2 В, E₅ = 5,6 В, r₂ = 50 Ом, r₃ = 10 Ом, r₄ = 20 Ом, r₅ = 10 Ом, r₆ = 100 Ом, r₇ = 50 Ом, r₈ = 20 Ом.

Внутренние сопротивления источников напряжения считать равными нулю.

В тех случаях, когда в цепи имеется ветвь с э.д.с., но не содержащая сопротивления, целесообразно принять равным нулю потенциал одной из узловых точек, к которой подходит указанная ветвь.

В нашем случае примем потенциал узла 3 равным нулю (φ₃ = 0). Тогда потенциал точки 1 имеет значение, равное E₁, т.е. φ₁ = 20 В. Общее число уравнений уменьшается и равняется числу узлов минус два. В нашей задаче достаточно составить всего два уравнения для узлов 2 и 4.

Определим сумму проводимостей, присоединенных к узлу 2

g 22 = 1 r 3 + 1 r 4 + 1 r 7 = 0,17       1 О м ,

и, соответственно, к узлу 4

g 44 = 1 r 4 + 1 r 5 + 1 r 8 = 0,2       1 О м .

Найдем взаимные проводимости узлов 2 и 1, 2 и 4, 4 и 1

g 12 = g 21 = − 1 r 7 = − 0,02       1 О м , g 24 = g 42 = − 1 r 4 = − 0,05       1 О м , g 14 = g 41 = − 1 r 8 = − 0,05       1 О м .

Вычислим суммы произведений э.д,с. на проводимости, присоединенные соответственно к узлам 2 и 4

∑ 2 E ⋅ g = E 3 ⋅ g 3 − E 4 ⋅ g 4 = 0,14       В О м , ∑ 4 E ⋅ g = E 4 ⋅ g 4 + E 5 ⋅ g 5 = 0,62       В О м .

Составим систему уравнений на основании формул (11) для узла 2:

φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 + φ 4 ⋅ g 24 = ∑ 2 E ⋅ g ,

для узла 4

φ 1 ⋅ g 41 + φ 2 ⋅ g 42 + φ 4 ⋅ g 44 = ∑ 4 E ⋅ g .

Подставляя сюда числовые значения, получим

Решая эту систему уравнений, найдем

Наконец, применяя к отдельным ветвям формулы закона Ома, получим значения всех токов, которые нанесены на скелетной схеме (46, б)

I₂ = 0,2 А, I₃ = 0,4 А, I₄ = 0,12 А, I₅ = 0,4 А, I₆ = 0,2 А, I₇ = 0,28 А, I₈ = 0,52 А.

Ток I₁ определяется на основании первого закона Кирхгофа

Задача 46 . Методом узловых потенциалов рассчитать токи в цепи (рис. 47). Даны: E₁ = 160 мВ, E₂ = 300 мВ, r₃ = r₄ = 100 Ом, r₅ = 150 Ом, r₆ = 40 Ом. Внутренние сопротивления генераторов напряжения равны нулю.

Указание. Для решения задачи достаточно составить всего одно уравнение, так как в схеме имеется две ветви с э.д.с., но не содержащие сопротивления, а узлов в схеме четыре.

Ответ: I₁ = 2,25 мА, I₂ = 1,4 мА, I₃ = 0,85 мА, I₄ = 0,75 мА, I₅ = 0,1 мА, I₆ = 1,5 мА.

Задача 47 . Методом наложения рассчитать токи в схеме (рис. 48. а), если E₁ = 10 В, E₂ = 40 В, E₃ = 5 В, r₁₀ = 5 Ом, r₂₀ = r₃₀ = 2 Ом, r₁ = 30 Ом, r₂ = 3 Ом, r₃ = 8 Ом.

Сначала предполагаем, что действует только э.д.с. E₁, а э.д.с. E₂ и E₃ считаем недействующими (рис. 48, б), тогда

I ′ 1 = E 1 r 1 Э ,

r 1 Э = r 1 + r 10 + ( r 2 + r 20 ) ⋅ ( r 3 + r 30 ) ( r 2 + r 20 ) + ( r 3 + r 30 ) = 35 + 5 ⋅ 10 15 = 115 3       О м .

I ′ 1 = E 1 r 1 Э = 10 115 / 3 = 6 23       А .

Токи в параллельных ветвях найдем согласно формуле (9)

I ′ 2 = I ′ 1 ⋅ ( r 3 + r 30 ) ( r 2 + r 20 ) + ( r 3 + r 30 ) = 6 23 ⋅ 10 15 = 4 23       А , I ′ 3 = I ′ 1 ⋅ ( r 2 + r 20 ) ( r 2 + r 20 ) + ( r 3 + r 30 ) = 6 23 ⋅ 5 15 = 2 23       А .

Теперь проведем расчет, предполагая, что действует э.д.с. E₂, а э.д.с. E₁ и E₃ считаем недействующими (рис. 48, в)

I ″ 2 = E 2 r 2 Э ; r 2 Э = r 2 + r 20 + ( r 1 + r 10 ) ⋅ ( r 3 + r 30 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 3 + r 30 ) = 115 9       О м ; I ″ 2 = E 2 r 2 Э = 40 115 / 9 = 72 23       А ; I ″ 1 = I ″ 2 ⋅ ( r 3 + r 30 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 3 + r 30 ) = 72 23 ⋅ 10 45 = 16 23       А ; I ″ 3 = I ″ 2 ⋅ ( r 1 + r 10 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 3 + r 30 ) = 72 23 ⋅ 35 45 = 56 23       А .

Аналогично рассчитываем величины токов при действии только одной э.д.с. E₃ (рис. 48, г)

I ? 3 = E 3 r 3 Э ; r 3 Э = r 3 + r 30 + ( r 1 + r 10 ) ⋅ ( r 2 + r 20 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 2 + r 20 ) = 115 8       О м ; I ? 3 = E 3 r 3 Э = 5 115 / 8 = 8 23       А ; I ? 1 = I ? 3 ⋅ ( r 2 + r 20 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 2 + r 20 ) = 8 23 ⋅ 5 40 = 1 23       А ; I ? 2 = I ? 3 ⋅ ( r 1 + r 10 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 2 + r 20 ) = 8 23 ⋅ 35 40 = 7 23       А .

Истинное значение тока в каждой ветви найдется как алгебраическая сумма токов, определяемых каждой э.д.с. в отдельности.

Ток в первой ветви

I 1 = I ′ 1 + I ″ 1 + I ? 1 = 6 23 + 16 23 + 1 23 = 1       А .

Ток во второй ветви

I 2 = I ′ 2 + I ″ 2 − I ? 2 = 4 23 + 72 23 − 7 23 = 3       А .

Ток в третьей ветви

I 3 = − I ′ 3 + I ″ 3 − I ? 3 = − 2 23 + 56 23 − 8 23 = 2       А .

Направления этих токов показаны на рис. 48, а.

Задача 48 . Найти токи в ветвях цепи, изображенной на рис. 49, если известны E₁ = 125 мВ, E = 120 мВ, r₁ = 40 Ом, r₂ = 36 Ом, r₃ = r₄ = 60 Ом. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь. Задачу решить методами наложения и контурных токов.

Ответ: I₁ = 0,8 А, I₂ = 0,75 А, I₃ = 2 А, I₄ = 1,55 А, I = 2,75 А.

Задача 49 . В схеме (рис. 50, а) методом наложения найти все токи. Внутренние сопротивления источников э.д.с. принять равными нулю. Электродвижущие силы и сопротивления элементов цепи имеют следующие значения: E₁ = 96 В, E₂ = 75 В, r₃ = 3 Ом, r₄ = 15 Ом, r₅ = 10 Ом, r₆ = 6 Ом.

Положим, что действует только э.д.с. E₁, а э.д.с. E₂ не действует. В этом случае схема примет вид, изображенный на рис. 50, б. Так как внутреннее сопротивление э.д.с. E₂ равно нулю, то на его месте между точками b и d показано короткое замыкание. Для большей наглядности схему рис. 50, б можно начертить в виде, показанном на рис. 50, в.

Полное сопротивление этой схемы равно

r 1 э к в = r 3 ⋅ r 6 r 3 + r 6 + r 4 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 3 ⋅ 6 9 + 15 ⋅ 10 25 = 8       О м .

Определим все токи

I ′ 1 = E 1 r 1 э к в = 96 8 = 12       А , I ′ 3 = I ′ 1 ⋅ r 6 r 3 + r 6 = 12 ⋅ 6 9 = 8       А ;         I ′ 6 = I ′ 1 − I ′ 3 = 4       А ;   I ′ 4 = I ′ 1 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 12 ⋅ 10 25 = 4,8       А ;         I ′ 5 = I ′ 1 − I ′ 4 = 7,2       А ;   I ′ 2 = I ′ 3 − I ′ 4 = 8 − 4,8 = 3,2       А           и л и         I ′ 2 = I ′ 5 − I ′ 6 = 3,2       А   .

Теперь положим, что действует только э.д.с. E₂, а э.д.с. E₁ считаем недействующей (рис. 50, г).

Схему (рис. 50, г) для большей наглядности можно представить в виде, показанном на рис. 50, д. Ее полное сонротивление

r 2 э к в = r 3 ⋅ r 4 r 3 + r 4 + r 5 ⋅ r 6 r 5 + r 6 = 3 ⋅ 15 18 + 6 ⋅ 10 16 = 6,25       О м .

Вычислим все токи

I ″ 2 = E 2 r 2 э к в = 75 6,25 = 12       А , I ″ 3 = I ″ 2 ⋅ r 4 r 3 + r 4 = 12 ⋅ 15 18 = 10       А ;         I ″ 4 = I ″ 2 − I ″ 3 = 2       А ;   I ″ 6 = I ″ 2 ⋅ r 5 r 5 + r 6 = 12 ⋅ 10 16 = 7,5       А ;         I ″ 5 = I ″ 2 − I ″ 6 = 4,5       А ;   I ″ 1 = I ″ 3 − I ″ 6 = 10 − 7,5 = 2,5       А   .

Складывая алгебраически токи, полученные от действия каждой э.д.с. в отдельности (рис. 50, б и 50, г), найдем истинные токи в каждой ветви (они нанесены на рис. 50, а)

I 1 = I ′ 1 + I ″ 1 = 12 + 2,5 = 14,5       А , I 2 = I ′ 2 + I ″ 2 = 3,2 + 12 = 15,2       А , I 3 = I ′ 3 + I ″ 3 = 8 + 10 = 18       А , I 4 = I ′ 4 − I ″ 4 = 4,8 − 2 = 2,8       А , I 5 = I ′ 5 + I ″ 5 = 7,2 + 4,5 = 11,7       А , I 6 = I ′ 6 − I ″ 6 = 7,5 − 4 = 3,5       А .

Задача 50 . Для схемы (рис. 51) методами наложения, контурных токов и при помощи законов Кирхгофа найти все токи. Внутренние сопротивления источников электрической энергии считать равными нулю.

Дано: E₁ = 90 В, E₂ = 54 В, r₁ = 30 Ом, r₃ = 60 Ом, r₄ = 24 Ом, r₅ = 20 Ом.

Ответ: I₁ = 1,7 А, I₂ = 2,5 А, I₃ = 0,25 А, I₄ = 2,25 А, I₅ = 1,95 А.

Задача 51 . Найти эквивалентное сопротивление цепи (рис. 52, а) и все токи, если U = 114 В, r₁ = 30 Ом, r₂ = r₃ = 10 Ом, r₄ = 26 Ом, r₅ = 11 Ом, r₆ = 10 Ом, r₇ = 40 Ом, r₈ = 50 Ом. Задачу решить методом преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Заменим треугольники сопротивлений abc и dfg эквивалентными звездами (рис. 52, б).

Подсчитаем сопротивления лучей звезды r₁₀, r₂₀ и r₃₀, эквивалентной треугольнику abc сопротивлений r₁, r₂ и r₃ (формулы 17)

r 10 = r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2 + r 3 = 6       О м ,       r 20 = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 2 + r 3 = 6       О м ,       r 30 = r 2 ⋅ r 3 r 1 + r 2 + r 3 = 2       О м .

Сопротивления лучей звезды r₄₀, r₅₀, r₆₀ эквивалентной треугольнику dfg сопротивлений r₆, r₇, r₈, равны

r 40 = r 6 ⋅ r 7 r 6 + r 7 + r 8 = 4       О м ,       r 50 = r 6 ⋅ r 8 r 6 + r 7 + r 8 = 5       О м ,       r 60 = r 7 ⋅ r 8 r 6 + r 7 + r 8 = 20       О м .

Эквивалентное сопротивление всей схемы

r Э = r 10 + r I ⋅ r I I r I + r I I + r 60 = 38       О м ,

r I = r 20 + r 4 + r 40 = 36       О м ,       r I I = r 3 + r 5 + r 50 = 18       О м .

Ток в неразветвленной части цепи

I = U r Э = 114 38 = 3       А .

Токи в параллельных ветвях I’ (r₂₀r₄r₄₀) и I» (r₃₀r₅r₅₀)

I ′ = I ⋅ r I I r I + r I I = 3 ⋅ 18 36 + 18 = 1       А ; I ″ = I ⋅ r I r I + r I I = 3 ⋅ 36 36 + 18 = 2       А .

Теперь найдем токи в сопротивлениях заданной цепи. Для этого предварительно из схемы (рис. 52, б) найдем напряжения между точками a и b, a и c, b и c, d и g, f и g, d и f

U a b = I ⋅ r 10 + I ′ ⋅ r 20 = 3 ⋅ 6 + 1 ⋅ 6 = 24       В ; U a c = I ⋅ r 10 + I ″ ⋅ r 30 = 3 ⋅ 6 + 2 ⋅ 2 = 22       В ; U a b − U a c = ( φ a − φ b ) − ( φ a − φ c ) = φ c − φ b = U c b = 24 − 22 = 2       В ; U d g = I ′ ⋅ r 40 + I ⋅ r 60 = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 20 = 64       В ; U f g = I ″ ⋅ r 50 + I ⋅ r 60 = 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 20 = 70       В ; U f g − U d g = ( φ f − φ g ) − ( φ d − φ g ) = φ f − φ d = U f d = 70 − 64 = 6       В .

искомые токи будут

I 1 = U a b r 1 = 24 30 = 0,8       А ,       I 2 = U a c r 2 = 22 10 = 2,2       А ,       I 3 = U c b r 3 = 2 10 = 0,2       А , I 4 = I ′ = 1       А ,       I 5 = I ″ = 2       А , I 6 = U f d r 8 = 6 10 = 0,6       А ,       I 7 = U d g r 7 = 64 40 = 1,6       А ,       I 8 = U f g r 8 = 70 50 = 1,4       А .

Задача 52 . В схеме (рис. 53) найти токи, применив преобразование треугольника в звезду. Определить эквивалентное сопротивление между точками a и b.

Приложенное напряжение U = 30 В; сопротивления: r₁ = 60 Ом, r₂ = 120 Ом, r₃ = 180 Ом, r₄ = 80 Ом, r₅ = 120 Ом.

Определить показание ваттметра и убедиться в том, что оно равно сумме мощностей, расходуемых во всех сопротивлениях.

Ответ: I = 0,3 А, I₁ = 0,2 А, I₂ = 0,15 А, I₃ = 0,1 А, I₄ = 0,15 А, I₅ = 0,05 А, r_ab = 100 Ом, P = 9 Вт.

Задача 53 . Вычислить токи, проходящие во всех ветвях схемы (рис. 54), если E = 213 В, E₁ = 90 В, r₁ = 6 Ом, r₂ = 40 Ом, r₃ = 10 Ом, r₄ = 100 Ом, r₅ = 60 Ом.

Задачу решить преобразованием треугольника в эквивалентную звезду. Внутренними сопротивлениями источников напряжения пренебречь.

Определить входное сопротивление относительно ветви r₁ и взаимное сопротивление ветвей r₁ и r₂.

Ответ: I = 3,8 А, I₁ = 0,5 А, I₂ = 1,5 А, I₃ = 3,3 А, I₄ = 1,8 А, I₅ = 2 А, r₁₁ = 33 Ом, r₁₂ = 60 Ом.

Задача 54 . Определить величины токов, проходящих по цепи, схема которой показана на рис. 55.

Данные цепи: E₁ = 100 В, E₂ = 140 В, r₁ = 15 Ом, r₂ = 5 Ом, r₃ = 10 Ом, r₄ = 4 Ом, r₅ = 50 Ом, r₁₀ = r₂₀ = 0.

Задачу решить методами контурных токов и узловых потенциалов.

Ответ: I₁ = 4 А, I₂ = 8 А, I₃ = 6 А, I₄ = 10 А, I₅ = 2 А.

Задача 55 . Для схемы (рис. 56, а) найти методом эквивалентного генератора напряжения ток в ветви с сопротивлением r₁, если E₁ = 18 В, E₂ = 21 В, r₁₀ = 1 Ом, r₁ = 2 Ом, r₂₀ = 0, r₂ = 9 Ом, r₃ = 6 Ом.

Разомкнем цепь, содержащую сопротивление r₁, и найдем напряжение между точками m и n (рис. 56, б).

Очевидно, что в разомкнутой ветви тока нет, точки m и p равнопотенциальны (φ_m = φ_p), а потенциал точки q превышает потенциал точки n на величину φ_q — φ_n = E₁.

Имея это в виду, определим U_x = U_mn

φ_m = φ_p, φ_n = φ_q — E₁,

Найдем напряжение U_pq. Для этого сначала определим ток в контуре psqp

I = E 2 r 2 + r 20 + r 3 = 21 15 = 1,4       А .

U_pq = I·r₃ = 1,4·6 = 8,4 В.

U_x = U_mn = U_pq + E₁ = 8,4 + 18 = 26,4 В.

Для нахождения тока в ветви r₁ сначала определим сопротивление короткого замыкания (рис. 56, в)

r k = r 2 ⋅ r 3 r 2 + r 3 = 9 ⋅ 6 15 = 3,6       О м .

I 1 = U x r 1 + r 10 + r k = 26,4 1 + 2 + 3,6 = 4       А .

Этот ток течет от точки m к точке n.

Задача 56 . Методом эквивалентного генератора напряжения найти ток (рис. 57, а), проходящий через сопротивление r₅, если E = 120 В, r₁ = 60 Ом, r₂ = 15 Ом, r₃ = 90 Ом, r₄ = 60 Ом, r₅ = 12 Ом. Внутреннее сопротивление источника напряжения равно нулю.

Разомкнем сопротивление r₅ и. найдем напряжение между точками c и e (рис. 57, б).

Через сопротивления r₁ и r₂ протекает ток I’, а через r₃ и r₄ ток I»

I ′ = E r 1 + r 2 = 120 75 = 1,6       А , I ″ = E r 3 + r 4 = 120 150 = 0,8       А , φ a − φ c = U a c = I ′ ⋅ r 1 = 1,6 ⋅ 60 = 96       В , φ a − φ d = U a d = I ″ ⋅ r 3 = 0,8 ⋅ 90 = 72       В , ( φ a − φ c ) − ( φ a − φ d ) = φ d − φ c = U d c = 24       В .

Но так как φ_d = φ_e, то U_dc = U_ec. Итак, напряжение холостого хода U_x = 24 В.

Теперь найдем сопротивление короткого замыкания. Определим его двумя способами.

1) Путем непосредственного подсчета по схеме.

В этом случае надо э.д.с. выключить, оставив ее внутреннее сопротивление, равное в данном случае нулю (рис. 57, в). Сопротивление короткого замыкания двухполюсника равно сопротивлению цепи между точками c и d

r k = r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2 + r 3 ⋅ r 4 r 3 + r 4 = 60 ⋅ 15 75 + 90 ⋅ 60 150 = 48       О м .

2) То же сопротивление можно найти и другим путем. Для этого надо замкнуть точки c и d накоротко, вычислить ток I_к, протекающий через короткозамкнутый участок (рис. 57, г), и сопротивление короткого замыкания определить по формуле (20).

Сопротивление схемы равно

r c x = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 3 + r 2 ⋅ r 4 r 2 + r 4 = 60 ⋅ 90 150 + 15 ⋅ 60 75 = 48       О м .

Найдем токи в ветвях

I 0 = E r c x = 120 48 = 2,5       А , I ′ 1 = I 0 ⋅ r 3 r 1 + r 3 = 2,5 ⋅ 90 150 = 1,5       А , I ′ 2 = I 0 ⋅ r 4 r 2 + r 4 = 2,5 ⋅ 60 75 = 2     А .

I k = I ′ 2 − I ′ 1 = 0,5     А .

Сопротивление короткого замыкания (формула 20) равно

r k = U x I k = 24 0,5 = 48       О м .

Искомый ток находим по формуле (21)

I 5 = U x r 5 + r k = 24 12 + 48 = 0,4       А .

Задача 57 . Для схемы (рис. 58) методом эквивалентного генератора напряжений найти ток в ветви с сопротивлением r₃, если E₁ = 5 В, E₂ = 7 В, r₁ = 7,5 Ом, r₂ = 2,5 Ом, r₃ = 5 Ом, r₄ = 2 Ом, r₅ = 25 Ом, r₁₀ = r₂₀ = 0.

Ответ: I₃ = 0,6 А.

Задача 58 . Пользуясь методом эквивалентного генератора напряжений, найти э.д.с. и внутреннее сопротивление источников, эквивалентных каждой из схем (рис. 59 а, б, в и г; 0 < k < 1). Внутренние сопротивления источников энергий равны нулю.

Ответ: 1) U₀ = k·E, r_k = k· (1 — k)·r; 2) U₀ = k·E — E₁, r_k = r₁ + k· (1 — k)·r;

3) U 0 = k ⋅ E ⋅ r r 1 + k ⋅ r ,         r k = ( 1 − k ) ⋅ r + k ⋅ r ⋅ r 1 k ⋅ r + r 1 ;

4) U 0 = E ⋅ r 3 r 4 r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 1 r 4 + r 2 r 3 + r 3 r 4 ,       r k = r 4 ⋅ ( r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 ) r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 1 r 4 + r 2 r 3 + r 3 r 4 .

Задача 59 . По показаниям приборов, полученным из двух опытов, найти э.д.с. и внутреннее сопротивление источника электрической энергии, эквивалентного схеме (рис. 60), в случаях: