Типовые задачи курса тау
Использования пакета MATHCAD иллюстрирует решение типовых задач первой части курса ТАУ, посвященной линейным САУ. Ниже рассматривается построение годографов характеристического уравнения и АФЧХ, графиков амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), фазо-частотных характеристик (ФЧХ), логарифмических АЧХ и ФЧХ, решение задач устойчивости по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста, а также построение переходного процесса.
Построение годографа афчх.
Построение годографа АФЧХ и АЧХ графиков вещественной и мнимой частотных характеристик включает следующие этапы:
-формирование параметров анализируемой передаточной функции:
-формирование выражения анализируемой передаточной функции:
-формирование линейного частотного диапазона:
-построение графика вещественной частотной характеристики:
-построение графика мнимой частотной характеристики:
-корректировка частотного диапазона для более точного построения годографа АФЧХ:
— построение графика годографа АФЧХ:
Текст соответствующего MATHCAD файла приведен в приложении 1.
Построение логарифмических афчх.
Построим логарифмические АЧХ и ФЧХ для примера, используемого в разделе 2.1.
Основной проблемой при построении логарифмических АЧХ и ФЧХ является задание декадно-логарифмического частотного диапазона, например: 1,2,3,…,9,10,20,30,…,90,100,200,…
Эта проблема решается следующим образом.
Задаются параметры частотного ряда:
w0:= 0.01 – начальная частота ряда;
n:= 4 – количество декад;
j:=1…9 – ряд частотного поддиапазона (декады);
Выражение для декадно-логарифмического частотного диапазона приводится ниже:
В результате вычислений формируется следующий частотный ряд:
Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической амплитудно-частотной характеристики:
В данном случае p является формальным параметром выражения.
Строится график логарифмической АЧХ:
Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической фазо-частотной характеристики:
и непосредственно строится график логарифмической ФЧХ:
Следует отметить наличие разрыва графика при достижении абсциссой величины
–π / 2, что обусловлено областью определения арктангенса [–π / 2, π / 2].
Для построения непрерывного графика логарифмической ФЧХ необходимо сместить разрыв на – π, применяя функцию arg, тогда выражение примет вид:
Текст MATHCAD файла, реализующего построение логарифмических АЧХ и ФЧХ приведен в приложении 2.
Построение годографа характеристического уравнения.
В качестве примера рассмотрим характеристическое уравнение, заданное следующим выражением:
Для частотного диапазона w:=0,0.01…7 построим годограф характеристического уравнения:
Текст MATHCAD файла, реализующего построение годографа характеристического уравнения, приведен в приложении 3.
Критерий устойчивости ГУРВИЦА.
Использование MATHCAD при определении устойчивости САУ по критерию ГУРВИЦА требует знания команд формирования и редактирования матриц.
Рассмотрим процедуру использования MATHCAD при анализе следующего характеристического уравнения:
Для формирования шаблона определителя ГУРВИЦА сформируем матрицу, нажав клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует определения количества столбцов и строк. Задав размер матрицы: 6 6, получим следующий шаблон определителя ГУРВИЦА:
Полученный шаблон матрицы ГУРВИЦА заполняется согласно известному правилу [1-5] следующим образом:
Далее согласно правилу [1-5], необходимо вычислить все главные миноры определителя ГУРВИЦА. Для удобства и простоты общения с MATHCAD, вычислим все миноры, начиная со старшего.
Для вычисления определителя матрицы delta_6 необходимо сформировать символ определителя, нажав клавишу [ | ], и заполнить его именем матрицы delta_6. Получим следующий результат:
Для вычисления следующего минора delta_5 необходимо скопировать матрицу delta_6 ниже, используя клавиши [F2], [F4], и изменить имя минора на delta_5.
Чтобы удалить лишние в этом случае нижнюю строку и правый столбец, необходимо маркер подвести к нижнему правому элементу 1000 и нажать клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует пояснения для удаления (что будет означать знак -) или дополнения (знак +) текущей матрицы. Необходимо набрать -1 -1 и будет удалена нижняя строка и правый столбец. Выражение примет следующий вид:
Вычислим минор delta_5 приведенным ниже образом:
Аналогично составляются и вычисляются остальные миноры определителя ГУРВИЦА:
После анализа знаков и величин всех диагональных миноров принимается заключение об устойчивости САУ [1-5].
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Гурвица, приведен в приложении 4.
Критерий устойчивости Михайлова.
Использование пакета MATHCAD при решении задачи устойчивости САУ по критерию Михайлова заключается в построении годографа в комплексной плоскости [1-5]. Рассмотрим эту задачу на следующем примере, описанном в разделе 4.2.1.
Дано характеристическое уравнение САУ:
Пусть частотный диапазон для анализа:
Построим годограф Михайлова в комплексной плоскости:
Проанализируем поведение годографа Михайлова [1-5]:
-начинается на положительной вещественной полуоси;
-вращается против часовой стрелки относительно начала координат;
-последовательно обходит 5 квадрантов.
Следовательно анализируемая САУ устойчива.
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Михайлова, приведен в приложении 5.
Критерий устойчивости Найквиста.
Задача определения устойчивости замкнутой САУ базируется на анализе поведения годографа АФЧХ в комплексной плоскости.
Исследуем устойчивость замкнутой САУ, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет следующее выражение:
Пусть частотный диапазон анализа:
Строим годограф АФЧХ разомкнутой САУ в комплексной плоскости:
Анализ поведения годографа АФЧХ показывает, что замкнутая САУ устойчивая, т.к. при отсутствии положительных вещественных корней АФЧХ разомкнутой САУ не охватывает точку с координатами (-1,-j0).
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Найквиста, приведен в приложении 6.
Выделение областей устойчивости в плоскости одного
Задание: Определить допустимые вариации параметра К для системы, заданной следующей структурной схемой.
Зададим выражения передаточных функций:
Определим выражение комплексного коэффициента усиления К интегрирующего звена в цепи отрицательной обратной связи в следующем виде:
Построим фигуративную линию комплексного коэффициента усиления при
Определим точку пересечения фигуративной линии с вещественной положительной осью путем использования функций нахождения корней следующим образом:
Переменная первого приближения решения:
Результат получен с точностью до третьего знака, что задано конфигурацией MATHCAD.
Дальнейшая штриховка фигуративной линии и выделение областей устойчивости выполняется согласно известным правилам [1-5].
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ в плоскости одного варьируемого параметра 7.
Построение кривой переходного процесса.
Решение задачи построения кривой переходного процесса основывается на известной взаимосвязи вещественной частотной характеристики и переходного процесса.
Построим график кривой переходного процесса для следующей передаточной функции простейшего колебательного звена:
Проанализируем график вещественной частотной характеристики для частотного диапазона w:=0..100
Анализ показывает, что вещественная частотная характеристика постоянно имеет значения очень близкие к 0, начиная с частоты 30 рад/сек. Следовательно ограничимся рассмотрением именно этого частотного диапазона для построения кривой переходного процесса.
Итак, частотный диапазон w:=0..30.
Найдем значение вещественной части на нулевой частоте так как эта величина есть значение переходного процесса в установившемся режиме.
Построим график вещественной части характеристики для последнего частотного диапазона:
Опишем известную [1-5] взаимосвязь вещественной частотной характеристики и кривой переходного процесса:
Зададим временной диапазон анализа:
Последним этапом является непосредственное построение кривой переходного процесса
Полный текст MATHCAD файла, реализующего построение кривой переходного процесса САУ, приведен в приложении 8.
Построение графиков АЧХ и ФЧХ с определением их характеристик (Mathcad, EWB-5.12)
Для сравнения построим АЧХ и ФЧХ, используя программный симулятор EWB-5.12 (ПРИЛОЖЕНИЕ Е).
Для вычисления коэффициента прямоугольности воспользуемся формулой
где — полоса частот по уровню сигнала ,
— полоса частот по уровню сигнала .
Используя построенный график АЧХ в программном симуляторе EWB-5.12, определим
Таким образом, полоса частот по уровню 0,707:
Полоса частот по уровню 0,1:
Вычислим коэффициент прямоугольности
Данная цепь является с точки зрения фильтрации колебаний, полосовым фильтром, то есть в диапазоне частот от некоторой граничной частоты fгр1 до частоты fгр2, фильтр обеспечивает прохождение колебаний без заметного ослабления в полосе данных частот и значительное ослабление в полосе за пределами этих частот.
Заключение
В процессе выполнения курсовой работы мы освоили методы расчета схем с использованием вычислительной техники, компьютерного схемотехнического моделирования и экспериментальных исследований электрических цепей
На основе полученных знаний в процессе выполнения курсовой работы мы освоили следующие темы дисциплины «Общая электротехника и электроника»: переходные процессы, цепи гармонического тока; частотно-избирательные цепи; методы расчетов электрических цепей; электрические фильтры. Все это обеспечивает студентов необходимой подготовкой для предстоящих инженерных исследований.
Литература
1. Матвеев Б. В. Общая электротехника и электроника: учеб. пособие/Б. В. Матвеев. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009. Ч. 1. 164 с.
2. Прянишников В. А., Петров Е. А., Осипов Ю. М. Электроника и ТОЭ в примерах и задачах: Практическое пособие. — СПб.: КОРОНА-Век, 2008. — 336 с.
3. Касаткин А.С. Курс электротехники: Учеб для вузов/ А.С. Касаткин, М.В. Немцов. — 8-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2005. — 542 с.: ил.
4. Афанасьева Н.А., Булат Л.П. Электротехника и электроника: Учеб. пособие. — СПб: СПбГУНиПТ, 2010 — 181 с.
О расчете и построении частотных характеристик
линейных систем в Маткаде
Частотные характеристики широко используются в ТАУ, электронике, радиотехнике и других научных и технических дисциплинах для анализа и синтеза систем и электронных схем. При этом важно представить их так, чтобы они были наглядны и позволяли отображать свойства системы в широком диапазоне частот, а кроме того, вычислялись быстро.
1. Неравномерный шаг
Для ускорения построения ЛАЧХ и ЛФЧХ в Маткаде, целесообразно использовать неравномерный шаг, задавая постоянный шаг в показателе.
ЛАЧХ (логарифмическая амплитудно-частотная характеристика)
Рис.1. Сокращение времени вычисления и построения ЛАЧХ путем применения неравномерного шага, изменяющегося по показательному закону. В данном примере число вычисляемых значений сокращается в 1000 раз при сохранении точности построения графика частотной характеристики (ЛАЧХ)
ЛФЧХ (логарифмическая фазо-частотная характеристика)
Рис. 2. Маткад вычисляет главные значения аргумента комплексного коэффициента передачи. Чтобы ЛФЧХ выглядела привычно нужно опустить ее правую часть на 360 0
Д.т.н., профессор кафедры систем автоматического управления Николай Николаевич Макаров (Тульский государственный университет) любезно подсказал, что построить ЛФЧХ можно и не привлекая инструменты программирования Маткада. Решение было предложено учеником Николая Николаевича, Есиповым Александром Николаевичем. Поскольку сотни студентов с этим решением сталкивались, оно, по словам Николая Николаевича, уже стало как бы народным.
Зададим массив частот длиной n, для которых будет вычисляться фаза. Частоту в массиве будем изменять не линейно, а логарифмически, чтобы точки равномерно располагались на логарифмической шкале
Рис.2a. Вычисление и построение ФЧХ через приращение аргументов
Рис.3. Опустите самостоятельно отрезки ЛФЧХ на свои места. В общем случае для этого нужно написать программу для φ2w(ω) на языке Маткада
Альтернативный способ построения, применяемый на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета:
Зададим массив частот длиной n, для которых будет вычисляться фаза. Частоту в массиве будем изменять не линейно, а логарифмически, чтобы точки равномерно располагались на логарифмической шкале
Рис.3a. Вычисление и построение ФЧХ контура со звеном запаздывания через приращение аргументов
Vissim иногда смещает ЛФЧХ вверх. При построении ЛФЧХ САР со звеном запаздывания в контуре Vissim это звено не учитывает.
ПК «МВТУ» строит ЛАЧХ в классической форме:
Рис. 4. ЛФЧХ контура со звеном запаздывания, построенная в ПК «МВТУ». По горизонтальной оси отложены не частота, а ее логарифм, что не очень удобно
2. Отображение годографа Михайлова
Часто для того, чтобы проследить поведение годографа в большом диапазоне частот, приходится строить его в различных масштабах:
Рис. 5. Для отображения поведения годографа Михайлова приходится строить его в разных масштабах
При построении годографа Михайлова важно правильно отобразить его поведение в районах пересечения осей, а также его стремление к бесконечности.
Эти задачи решает изменение по логарифмическому закону модуля функции, годограф которой строится, за пределами окружности радиуса 2 единицы с центром в начале координат. Внутри этой окружности сохраняется натуральный масштаб, а на окружности линии соединяются (припасовываются):
Рис. 6. Годограф Михайлова (годограф характеристического полинома САР). Представление модуля характеристического полинома за пределами окружности радиусом 2 единицы в логарифмическом масштабе позволяет показать поведение годографа для очень большого диапазона изменения частоты. В частности, здесь хорошо видно, что годограф системы третьего порядка при стремлении частоты к бесконечности тяготеет асимптотически к мнимой оси, т.е. аргумент действительно изменяется на -270 0 , что трудно увидеть и почувствовать на графике, построенном в натуральном масштабе (см. рис. 5).
3. Отображение годографа Найквиста
При построении годографа Найквиста (годографа комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура САР) важно правильно отобразить углы (аргументы ККП), а также поведение годографа, когда модули ККП велики, например, когда в контуре имеются интеграторы при частоте, стремящейся к нулю.
Для того, чтобы проследить поведение годографа в большом диапазоне частот, приходится его строить в различных масштабах:
Рис. 7. Годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура САР построен в натуральном масштабе
Использование логарифмического масштаба для модуля ККП за пределами окружности радиуса 2 позволяет рационально представить годограф, сохраняя правильное отображение аргумента ККП:
Рис. 8. Годограф ККП построенный в натуральном масштабе в пределах окружности с радиусом, равным 2, и в логарифмическом масштабе за пределами круга. Диапазон частот очень широк и одновременно отображение аргумента ККП производится правильно.
Справа приведена альтернативная формула для вычисления модуля ККП в натурально-логарифмическом масштабе и показана концентрическая сетка координат для упрощения отсчитывания значения этого модуля (добавлено 30.04.2010)
Вывод
Два простых приема: использование неравномерного шага и логарифмического масштаба за пределами окружности радиуса 2, позволяет ускорить время счета и отобразить на графиках поведение частотных характеристик в большом диапазоне частот.
Литература
- 1. Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, 1990. – с 159 — 172.
- 2. Файлы архивов документов Маткада с вычислениями, приведенными в статье
— Маткад 10 — Маткад 10 — Маткад 12 — Маткад 14
Л.Н. Данилович со своими курсантами предложил в 2005 году альтернативные способы представления годографа Михайлова. Такое представление может иметь определенный методический интерес. Например, искажение годографа позволяет нагляднее представлять какой из членов полинома влияет в наибольшей степени в данном частотном диапазоне.
Построение АЧХ и ФЧХ для цепи
Построение АЧХ и ФЧХ передаточной функции
Всем доброго времени суток. Суть проблемы такова: не могу понять как построить графики АЧХ и ФЧХ.
Построение АЧХ и ФЧХ передаточной функции
Здравствуйте. Смоделировал схему в симуляторе, а при моделировании в Mathcad получаются другие.
Построение АЧХ и ФЧХ передаточной функции типовых звеньев
помогите построить АЧХ и ФЧХ по выражению: w(p)=1/P(T*P+1)^2; т.к.Р=j*w, то.
АЧХ и ФЧХ
Помогите пожалуйста, сделать АЧХ и ФЧХ для формулы f
Сообщение было отмечено illiuha как решение
Решение
Сначала нужно определить передаточную функцию.
Теперь можно воспользоваться Маткадом:
АЧХ и ФЧХ
Кто-нибудь может подсказать в чем проблема ? Нужно построить вот такое.
Построить АЧХ и ФЧХ
Рассчитать АЧХ и ФЧХ схем. Построить на АЧХ и ФЧХ схемы 4.1а. Отметить на полученных.
АЧХ ФЧХ типовых звеньев
объясните, пожалуйста, почему не чертятся графики ачх и фчх?
Построить графики АЧХ, ФЧХ
Доброго времени суток! Прошу помочь с задачей в MathCad Ошибку есть , но я не знаю как решить.
Не получается построить АЧХ И ФЧХ
Есть расчёты фильтра НЧ и никак не могу понять как построить АЧХ И ФЧХ. Кто может подсказать? .
Построить АЧХ и ФЧХ активного фильтра
Здравствуйте! помогите построить АЧХ и ФЧХ активного фильтра по данному расчету